Средние величины и показатели вариации

 

При анализе статистической информации, характеризующих различные аспекты развития внешней торговли, важное место занимают средние статистические показатели. При помощи средней происходит сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам.

Средняя величина - это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку.

Она отражает объективный уровень, достигнутый в процессе развития явления к определенному моменту или периоду.

Средняя представляет значение определенного признака в совокупности одним числом и элиминирует индивидуальные различия значений отдельных величин совокупности.

Важнейшая особенность средней величины - в том, что она относится к единице изучаемой совокупности и через характеристику единицы характеризует всю совокупность в целом.

Существуют различные средние:

·   средняя арифметическая;

·   средняя геометрическая;

·   средняя гармоническая;

·   структурные средние (мода и медиана).

Средняя арифметическая наиболее распространенный вид средней. Средняя арифметическая обычно используется для характеристики абсолютных величин. В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется следующим образом:

.   по формуле простой средней арифметической, если каждое значение признака в ряду распределения встречается по одному разу:

 

,                                                (2.3)

 

где Х - значение признака;

n - количество значений.

2. по формуле средней арифметической взвешенной, если одно и тоже значение признака встречается несколько раз:

 

,                                                                                (2.4)

 

где xi - значение признака;

fi - частота повторения этого признака.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда отдельные варианты ряда резко отличаются от остальных. Она используется для характеристики относительных величин и рассчитывается по формуле (простая средняя геометрическая):

 

,                                               (2.5)

 

где х - значение показателя.

Если ряд распределения, содержащий исследуемый показатель представлен неравными интервалами, то используется формула средней геометрической взвешенной:

 

,                                       (2.6)

 

где x - значение показателя; f - частота признака.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда частоты ряда выражены в неявном виде. Средней гармонической величиной называют величину, рассчитанную из обратных значений варьирующегося признака. Обычно она применяется как обобщенная характеристика относительных величин. Простая производится по формуле:

 

,                                                      (2.7)

 

а расчет средней гармонической простой:

 

,                                                       (2.8)

 

где fi - частота признака;

xi - варианта.

В статистике также часто используются структурные (порядковые) средние. Структурное среднее характеризует состав статистической совокупности по одному из варьирующих признаков. К этим средним относятся мода и медиана.

Мода - такое значение варьирующего признака, которое в данном ряду распределения имеет наибольшую частоту.

В дискретных рядах распределений мода определяется визуально. Сначала определяется наибольшая частота, а по ней модальное значение признака. В интервальных рядах для вычисления моды используется следующая формула:

 

,                                  (2.9)

 

где Xjo - нижняя граница модальности (интервал ряда с наибольшей частотой);

ΔXj - длина интервала;

f_i - частота модального интервала;

f_j-1 - частота интервала предшествующего модальному;

f_j+1 - частота интервала следующего за модальным.

Медианой называется такое значение варьирующего признака, которое делит ряд распределения на две равные части по объему частот. Медиана рассчитывается по разному в дискретных и интервальных рядах.

Если ряд распределения дискретный и состоит из четного числа членов, то медиана определяется как средняя величина из двух серединных значений ранжированного ряда признаков. Если в дискретном ряду распределения нечетное число уровней, то медианой будет серединное значение ранжированного ряда признаков.

В интервальных рядах медиана определяется по формуле:

,                                           (2.10)

 

где Xjo - нижняя граница медианного интервала (интервала, для которого накопленная частота впервые превысит полусумму частот);

ΔXj - длина интервала;

V_j-1 - накопленная частоcть предшествующего медианному интервалу;

W_j - частость медианного интервала.

Помимо различных видов средних, к основным статистическим характеристикам относятся показатели вариации.

Вариация - это колеблемость значений признака у отдельных единиц совокупности.

Изучая вариацию значений признака в сочетании с его частотными характеристиками, мы обнаруживаем закономерности распределения.

Вариации в статистике проявляются двояко, либо через изменения значений признака у отдельных единиц совокупности, либо через наличие или отсутствие изучаемого признака у отдельных единиц совокупности.

К примерам вариаций относятся следующие показатели:

1. размах вариаций;

2. среднее линейное отклонение;

.   дисперсия;

.   среднее квадратическое отклонение;

.   коэффициент вариации.

Размах вариаций является ее простейшим показателем. Он определяется как разность между максимальным и минимальным значением признака. Недостаток этого показателя заключается в том, что он зависит только от двух крайних значений признака (min, max) и не характеризует колеблимость внутри совокупности.

 

,                                                        (2.11)

где X_max и X_min - максимальное и минимальное значение признака.

Среднее абсолютное линейное отклонение является средней величиной абсолютных значений отклонений от средней арифметической. Отклонения берутся по модулю, т. к. в противном случае, из-за математических свойств средней величины, они всегда были бы равны нулю.

 

 - простая формула;                                      (2.12)

 - взвешенная формула.                            (2.13)

Дисперсия (средний квадрат отклонений) имеет наибольшее применение в статистике как показатель меры колеблимости.

Дисперсия является именованным показателем. Она измеряется в единицах соответствующих квадрату единиц измерения изучаемого признака.

 

 - простая формула;                          (2.14)

 - взвешенная формула.                         (2.15)

Среднеквадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.) и определяется как корень из дисперсии.

 

.                                                                   (2.16)

Коэффициент вариаций определяется как отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака, выраженное в процентах:

 

.                                                          (2.17)

 

Он характеризует количественную однородность статистической совокупности. Если данный коэффициент < 50%, то это говорит об однородности статистической совокупности. Если же совокупность не однородна, то любые статистические исследования можно проводить только внутри выделенных однородных групп.

 

Индексный метод

 

Индекс представляет собой относительную величину, получаемую в результате сопоставления уровней социально-экономических явлений во времени, в пространстве или с планом.

В качестве меры соизмерения разнородных продуктов можно использовать цену, себестоимость или трудоемкость единицы продукции.

Индивидуальными называются индексы, характеризующие изменение только одного элемента совокупности. Индивидуальный индекс обозначается i.

 

 - индекс цен; (2.18)

 - индекс физических объемов; (2.19)

 - индекс стоимости; (2.20)

где р₁, q₁ - цена и количество (соответственно) текущие;

р₀, q₀ - цена и количество (соответственно) в предыдущем периоде.

Сводный индекс отражает изменение по всей совокупности элементов сложного явления. Если индексы охватывают не все элементы сложного явления, а лишь часть, то их называют групповыми, или субиндексами.

В зависимости от содержания и характера индексируемой величины различают индексы количественных (объемных) показателей (например, индекс физического объема продукции) и индексы качественных показателей (например, индексы цен, себестоимости).

При вычислении индексов различают сравниваемый уровень и уровень, с которым производится сравнение, называемый базисным. При этом возможны два способа расчета индексов - цепной и базисный. Цепные индексы получают сопоставлением текущих уровней с предшествующим. Базисные индексы получают сопоставлением с уровнем какого-то одного определенного периода, принятого за базу сравнения.

В зависимости от методологии расчета различают агрегатные индексы и средние из индивидуальных индексов. Индивидуальные индексы делятся на средние арифметические и средние гармонические индексы. Агрегатные индексы качественных показателей могут быть рассчитаны как индексы переменного состава и индексы фиксированного (постоянного) состава. В индексах переменного состава сопоставляются показатели, рассчитанные на базе изменяющихся структур явлений, а в индексах фиксированного состава - на базе неизменной структуры явлений.

Агрегатный индекс - сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из несоизмеримых элементов.

Особенность этой формы индекса состоит в том, что в агрегатной форме непосредственно сравниваются две суммы одноименных показателей. В настоящее время это наиболее распространенная форма индексов, используемая в практической статистике многих стран мира.

Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса).

Индексируемой величиной называется признак, изменение которого изучается (цена товаров, курс акций, затраты рабочего времени на производство продукции, количество проданных товаров и т.д.). Вес индекса - это величина, служащая для целей соизмерения индексируемых величин.

За каждым экономическим индексом стоят определенные экономические категории. Экономическое содержание индекса предопределяет методику его расчета.

При выборе веса индекса принято руководствоваться следующим правилом: если строится индекс количественного показателя, то веса берутся за базисный период и индекс рассчитывается по формуле Ласпейреса:

 

,                                             (2.21)

 

где p0, p1 - цены в базисном и текущем периоде на определенный товар;

q0, q1 - физический объемы товара в базисном и текущем периоде.

При построении индекса качественного показателя используются веса отчетного периода, и индекс рассчитывается по формуле Пааше:

 

.                                                            (2.22)

 

Между важнейшими индексами существуют взаимосвязи, позволяющие на основе одних индексов получить другие. Зная, например, значение цепных индексов за какой-либо период времени, можно рассчитать базисные индексы. И наоборот, если известны базисные, то путем деления одного из них на другой можно получить цепные индексы.

Существующие взаимосвязи между важнейшими индексами позволяют выявить влияние различных факторов на изменение изучаемого явления.

 

.                             (2.23)

 

Взаимосвязь между отдельными индексами может быть использована для выявления отдельных факторов, оказывающих воздействие на изучаемое явление.

Разность числителя и знаменателя показывает абсолютный размер экономии (перерасхода) затрат живого труда в связи с ростом (уменьшением) его производительности.

Под изменением структуры явления понимается изменение доли отдельных групп единиц совокупности в общей их численности.

Индексом переменного состава называется индекс, выражающий соотношение средних уровней изучаемого явления, относящихся к разным периодам времени.

Индекс переменного состава отражает изменение не только индексируемой величины (данном случае себестоимости), но и структуры совокупности (весов).

Индекс постоянного (фиксированного) состава - это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного какого-либо периода, и показывающий изменение только индексируемой величины.

Под индексом структурных сдвигов понимают индекс, характеризующий влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления.

Ряды динамики

 

В статистике внешней торговли для изучения динамики экспорта, импорта и товарооборота в целом применяются показатели динамики, которыехарактеризуют изменение изучаемого явления во времени, выявляют направление его развития. Входными данными для такого анализа являются статистические ряды динамики.

Ряд динамики - это совокупность двух взаимосвязанных элементов: уровни ряда; показатели времени, к которым они относятся.

Уровень ряда - количественная оценка изучаемого явления (абсолютные, относительные, средние величины). В зависимости от показателя времени выделяют: моментные; интервальные ряды динамики.

Моментные динамические ряды характеризуют уровень явления по состоянию на определенный момент времени. Уровни моментных динамических рядов не следует суммировать, так как каждый последующих уровень условно или фактически включает в себя предыдущий.

Интервальные динамические ряды отражают масштабы явления за определенные периоды времени - товарооборот, издержки, доходы и т.д. Показатели интервального ряда можно суммировать. Такая операция называется укрупнением временных интервалов.

Для оценки направления и интенсивности развития явлений применяется система абсолютных, относительных и средних показателей динамики. Статистические показатели динамики принято делить на базисные и цепные.

Сравниваемый уровень называется текущим, а тот, с которым происходит сравнение - базисным.

При сравнении каждого последующего уровня с каждым предыдущим получаются цепные показатели. При сравнении каждого последующего уровня с одним уровнем (базой) получаются базисные показатели. Выбор базы сравнения должен быть обоснован экономически.

Абсолютный прирост - разница между уровнями ряда. Он характеризует размер увеличения (уменьшения) уровней ряда за отдельный промежуток времени.

 

 - цепной абсолютный прирост;               (2.24)

 - базисный абсолютный прирост.                       (2.25)

 

Если абсолютный прирост положительный, то это означает рост, если отрицательный - спад.

Связь между цепными и базисными абсолютными приростами описывается формулой:

 

.                                                       (2.26)

Темп роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше или меньше базисного уровня. Представляет собой соотношение двух сравниваемых уровней.

 

 - цепной темп роста;                                      (2.27)

 - базисный темп роста.                           (2.28)

 

Темпы роста выражаются либо в виде процентов, либо в виде коэффициентов. Если темп роста больше единицы (100%), то уровень ряда возрастает, если меньше-то убывает.

Связь между цепными и базисными темпами роста описывается формулой:

.                                                        (2.29)

Темп прироста показывает, на какую долю (процент) уровень данного периода или момента времени больше или меньше базового уровня. Темп прироста может быть измерен и как отношение абсолютного прироста к базовому уровню.

 

 - цепные темпы прироста;                         (2.30)

 - базисные темпы прироста.                       (2.31)

 

Существует связь между темпами роста темпами прироста:

 

,                                                        (2.32)

.                                                         (2.33)

 

По показателям, характеризующим изменения уровней ряда динамики (абсолютные приросты, темпы роста и прироста), полученным в результате анализа исходного ряда, могут быть рассчитаны обобщающие показатели в виде средних величин - средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.

Средний абсолютный прирост может быть получен по формуле среднего арифметического:

 

. (2.34)

Если воспользоваться формулой связи цепных и базисных абсолютных приростов, то формулу можно упростить:

 

. (2.35)

 

Средний темп роста можно определить, пользуясь формулой среднего геометрического:

 

. (2.36)

 

Если воспользоваться формулой связи цепных и базисных темпов роста, то формулу можно упростить:

 

. (2.37)

 

Средний темп прироста вычисляется с помощью соотношения между темпами роста и прироста:

 

. (2.38)

 

Одна из главных задач статистического исследования динамики - это определение общей тенденции развития динамического ряда во времени или тренда.

Тренд (фактор времени) рассматривается как совокупный результат действия множества различных причин, которые условно объединяются в одну причину. Считается, что линия тренда может быть выпуклой, вогнутой или прямой. Но она не должна иметь волнообразную форму, которую принято считать результатом циклического изменения социальных и экономических показателей.

Существуют различные способы выделения тренда, выбор которых определяется целью исследования и спецификой изучаемого явления:

1.       Способы укрупнения интервала;

2. Скользящей средней;

.   Аналитического выравнивания.

Сущность любого из способов это сглаживание случайных единовременных колебаний для выявления общей тенденции развития.

Метод укрупнения интервалов - это суммирование уровней ряда за более короткие промежутки времени с целью замены их более крупными.

Способ скользящей средней предусматривает последовательное усреднение некоторого постоянного числа уровней (членов динамического ряда) по формуле простой средней арифметической. Число членов скользящей средней обычно прямо пропорционально численности и интенсивности колебаний уровней динамического ряда.

Аналитическое выравнивание - это набор уравнения прямой или кривой линии, адекватно выражающей общую тенденцию развития динамического ряда и расчет параметров этого уравнения чаще всего по методу наименьших квадратов. При выборе уравнения функции руководствуются спецификой изучаемого явления, а так же рядом формальных признаков.