Понятие о среднегармонических индексах

Необходимость в применении особых приемов построения индексов количественных показателей возникает, когда итоги по отдельным элементам сложного явления непосредственно несоизмеримы. Например, предприятие экспортирует станки, металл, товары широкого потребления. Если имеются сведения об экспорте продукции только в натуральном выражении, то динамику экспорта продукции предприятия в целом нельзя охарактеризовать показателем

 

 

де qi - количество продукции данного вида в натуральном выражении.

Различные виды продукции неравноценны по количеству затраченного на них общественного труда и имеют разные потребительные стоимости. Поэтому было бы неправильно непосредственно суммировать итоги по этим видам продукции. Для получения общего итога необходимо данные по различным видам продукции привести к единой, общей мере, например, использовать стоимостную оценку экспорта продукции.

Если разделить стоимость продукции отчетного периода на стоимость продукции базисного периода, получим индекс стоимости продукции. В общем виде его можно записать:

 

 

Приведенная формула характеризует изменение стоимости продукции, которая зависит от изменения уровня цен и количества выпускаемой продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным. Поэтому индекс стоимости не дает количественного представления об изменении объема выпуска.

Общий индекс физического объема, построенный на базе индивидуальных индексов, принимает форму среднего арифметического или гармонического индекса. Например, известна стоимость продукции каждого вида в базисном периоде и индивидуальные индексы физического объема. Исходной базой построения среднего из индивидуальных индексов служит агрегатная форма индекса Ласпейреса.

Из имеющихся данных непосредственно суммированием можно получить только знаменатель формулы. Числитель же может быть получен перемножением стоимости отдельного вида продукции базисного периода на индивидуальный индекс.

Тогда формула агрегатного индекса физического объема принимает вид:

 

 

т.е. получим средний арифметический индекс физического объема, где весами служит стоимость отдельных видов продукции в базисном периоде. При выборе весов следует иметь в виду, что средний индекс должен быть тождествен агрегатному, который является основной формой индекса. Учитывая, что отношение

 

 

характеризует долю данного вида продукции в общей стоимости продукции базисного периода (di0), средний арифметический индекс физического объема будет иметь вид:

 

 

Допустим, что в наличии имеется информация о динамике объема выпуска каждого вида продукции и стоимость, каждого вида продукции в отчетном периоде.

Для определения общего изменения выпуска продукции предприятия в этом случае удобно воспользоваться формулой Пааше, так как числитель формулы можно получить суммированием величин, а знаменатель - делением фактической стоимости каждого вида продукции на соответствующий индивидуальный индекс физического объема продукции.

 

 

Вместе с тем общий индекс физического объема продукции не всегда может быть представлен средней величиной из индивидуальных индексов. Этого нельзя сделать в том случае, когда перечень (номенклатура) изделий в текущем периоде не совпадает с их перечнем в базисном периоде, т.е. средние индексы могут быть рассчитаны лишь по сравнимому кругу изделий. По несравнимой продукции нельзя определить индивидуальные индексы, а потому становится невозможным преобразование агрегатного индекса в адекватные ему средние индексы.

Наряду с индексами физического объема продукции в планировании и статистико-экономическом анализе деятельности предприятий и отраслей широко применяются индексы качественных показателей: цен, себестоимости, производительности труда, средней заработной платы и т.д. Качественный показатель характеризует уровень изучаемого результативного показателя в расчете на количественную единицу и определяется как отношение данного результативного показателя к связанному с ним количественному показателю (фактору), на единицу которого он определяется. Например, себестоимость единицы продукции определяется как отношение суммы затрат на производство этого вида продукции к количеству единиц продукции данного вида; средняя заработная плата определяется делением фонда заработной платы на численность работников и т.д.

Широко применяется средний взвешенный гармонический индекс в статистике торговли при определении индексов розничных цен. Учет товарооборота ведется в денежном выражении но группам товаров, данные же о количестве проданных товаров в натуральном выражении во многих случаях отсутствуют. Поэтому непосредственно определить условную сумму товарооборота невозможно и тогда вместо агрегатной формы индекса вычисляется средний гармонический индекс с текущими весами.[4, c.171]

Он алгебраически тождествен формуле Пааше и имеет точно такое же экономическое содержание.

Рассмотрим вычисление средних взвешенных индексов качественных показателей на примере. За отчетный месяц цена единицы изделия А возросла на 5% по сравнению с предыдущим месяцем, изделия Б - на 3%, изделия В - на 11%. Нужно определить общий (средний) процент роста цен по всем изделиям в отчетном месяце, если известно, что объем товарооборота в отчетном месяце составил (млн руб): по изделию А- 780, по изделию Б -520, по изделию В - 340. Имеющиеся данные представим в табл.3(гр.3 и 4).

 

Таблица 1.1 - Динамика и структура товарооборота магазина

Изделия	Объем товарооборота, Млн. руб.		Индивидуальные индексы цен	Условный объем товарооборота, Млн. руб.		Удельный вес стоимости изделия в общем объеме товарооборота
	предшествующий месяц	отчетный месяц		отчетного месяца по ценам предыдущего	Предыдущего месяца по ценам отчетного	Предыдущего месяца	отчетного месяца
1	2	3	4	5	6	7	8
А	750	780	1,05	742,86	787,5	47,02	47,56
Б	530	520	1,03	504,85	545,9	33,23	31,71
В	315	340	1,11	306,31	349,65	19,75	20, 73
Итого	1595	1640		1554,02	1683,05	100,00	100,00

 

Определяем агрегатный индекс цен (по формуле Пааше):

 

 

Числитель формулы приведен в итоговой строке гр. 3 табл. 1.1 равен 1640 млн. руб. Слагаемые знаменателя можно определить делением товарооборота данного вида продукции в отчетном году на индивидуальный индекс цен:

 

 

Так, по изделию A этот индекс составит 742,86 млн. руб. и т.д. (см. гр. 5 табл.1.1).

Таким образом, получен общий объем товарооборота по ценам базисного периода. Общая его сумма стоит в знаменателе формулы. Разделив итог гр. 3 на итог гр. 5, получим, что в среднем цены возросли на 5,53%:

 

 

В данном случае агрегатный индекс цен представлен в форме среднего гармонического взвешенного индекса. В качестве весов используются фактические объемы товарооборота в отчетном месяце.

 

Расчетная часть

 

Имеются следующие выборочные данные за отчетный период по магазинам одного из торговых предприятий (выборка 10 %-ная механическая):

 

Таблица 2.1 - Исходные данные

№ магазина	Цена товара, тыс.руб./шт.	Выручка от продаж, млн. руб.	№ магазина	Цена товара, тыс.руб./шт.	Выручка от продаж, млн. руб.
1	524,24	247,05	16	547,67	292,38
2	686,24	448,81	17	688,86	457,10
3	527,10	252,38	18	578,24	308,76
4	541,05	269,76	19	700,67	457,24
5	596,24	331,62	20	647,90	398,67
6	613,38	351,33	21	521,24	244,24
7	474,33	184,49	22	516,67	216,48
8	636,95	381,48	23	555,43	296,24
9	462,57	171,48	24	563,19	299,33
10	546,62	271,14	25	578,86	315,12
11	521,48	243,52	26	589,10	320,19
12	585,86	314,90	27	564,48	305,67
13	656,48	410,13	28	590,19	326,33
14	534,43	261,81	29	612,81	342,67
15	482,57	187,48	30	647,10	384,70

 

Задание 1

. Постройте статистический ряд распределения магазинов по признаку - цена товара, образовав пять групп с равными интервалами.

. Постройте графики полученного ряда распределения: гистограмму и кумуляту. Графически определите значения моды и медианы.

. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану.

. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

Для того чтобы произвести группировку, необходимо вычислить величину группировочного интервала по формуле:

 

, где  и  - соответственно max и min значения выпуска продукции,  - число образуемых групп.

 

 

Группировку предприятий произведем в рабочей таблице 2.2.

 

Таблица 2.2 - Рабочая таблица с группировкой.

Группы	Группы магазинов по цене товара, тыс.руб.	№ магазина	Цена товара, тыс.руб.
1	462,57-510,19	7	474,33
		9	462,57
		15	482,57
ИТОГО:		3	1419,47
2	510,19-557,81	1	524,24
		3	527,10
		4	541,05
		10	546,62
		11	521,48
		14	534,43
		16	547,67
		21	521,24
		22	516,67
		23	555,43
ИТОГО:		10	5335,93
3	557,81-605,43	5	596,24
		12	585,86
		18	578,24
		24	563,19
		25	578,86
		26	589,10
		27	564,48
		28	590,19
ИТОГО:		8	4646,16
4	605,43-653,05	6	613,38
		8	636,95
		20	647,9
		29	612,81
		30	647,10
ИТОГО:		5	3158,14
5	653,05-700,67	2	686,24
		13	656,48
		17	688,86
		19	700,67
ИТОГО:		4	2732,25

 

Таблица 2.3 - Итоговая таблица

Группы, тыс.руб.	Число магазинов	Цена товара, тыс.руб.
462,57-510,19	3	1419,47
510,19-557,81	10	5335,93
557,81-605,43	8	4646,16
605,43-653,05	5	3158,14
653,05-700,67	4	2732,2
Итого	30	17291,9

 

Рисунок 2.1 - Гистограмма, графическое определение моды

 

Рисунок 2.2 - Кумулята, графическое определение медианы

 

В интервальном вариационном ряду мода вычисляется по формуле:

 

 

где yo - нижняя граница модального интервала;- размер модального интервала;- частота модального интервала;- частота интервала, стоящего перед модальной частотой;+1 - частота интервала, стоящего после модальной частоты.

 

 

В интервальном вариационном ряду медиана рассчитывается по формуле:

 

 

где yo - нижняя граница медианного интервала;- размер медианного интервала;

 - половина от общего числа наблюдений;- сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;- частота медианного интервала.

Определяем медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы (n).

 

 он находиться в интервале 557,81-605,43.

 

Таблица 2.4 - Расчетная таблица для характеристики ряда

Группы, тыс.руб.	Середина интервального ряда, х	Число магазинов, f	xf
462,57-510,19	486,38	3	1459,14	24558,8
510,19-557,81	534,00	10	5340	18368,1
557,81-605,43	581,62	8	4652,96	181,413
605,43-653,05	629,24	5	3146,2	13719,4
653,05-700,67	676,86	4	2707,44	40001,6
Итого		30	17305,74	96829,3

 

Средняя арифметическая:

 

 тыс.руб.

 

Среднее квадратическое отклонение:

 

 

Коэффициент вариации:

 

% - уровень цен по магазинам однороден, т.к. 9,8%<33%.

 

Средняя арифметическая по исходным данным:

 

 

Средняя арифметическая взвешенная отличается от результата, полученного на основе средней арифметической простой. Это объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы уже не располагаем исходными индивидуальными данными, а вынуждены ограничиться лишь сведениями о величине середины интервала.

Анализ полученных данных говорит о том, что группы магазинов по уровню цен отличаются от средней (Х= 576,858тыс.руб.) в среднем на 56,8 тыс. руб.. Значение коэффициента вариации не превышает 33%, следовательно, вариация по величине выпуска продукции не высока.

Задание 2

По исходным данным:

. Установите наличие и характер связи между признаками цена товара и выручка от продаж методом аналитической группировки, образовав четыре группы с равными интервалами по факторному признаку.

. Измерьте тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

На основе вспомогательной таблицы 2.1. составим аналитическую таблицу и проведем анализ зависимости выручки от продаж от величины цены товара.

 

Таблица 2.5 - Группировка магазинов в зависимости от величины цены товара

	Группы магазинов по величине цены	Число магазинов	Цена товара, тыс.руб.	Выручка от продаж, млн.руб.
				Всего	В т.ч. на 1 магазин
1	462,57-510,19	3	1419,47	543,45	181,15
2	510,19-557,81	10	5335,93	2595,00	259,5
3	557,81-605,43	8	4646,16	2521,92	315,24
4	605,43-653,05	5	3158,14	1858,85	371,77
5	653,05-700,67	4	2732,2	1773,28	443,32
	Итого	30	17291,9	9292,5	309,75

 

Группировка магазинов в зависимости от величины цены показала, что с ростом цены возрастает в и выручка от продаж. Т.е. между ценой и выркчкой существует прямая зависимость.

Рассчитываем эмпирический коэффициент детерминации  и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации  оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х. Показатель  рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

 

,

 

 - общая дисперсия признака Y,

 - межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения  изменяется в пределах . Если нет корреляционной связи между признаками Х и Y, то  = 0, если функциональная связь есть, то  = 1.

Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Формула:

 

,

- индивидуальные значения результативного признака;

- общая средняя значений результативного признака;- число единиц совокупности.

Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

 

 

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

 

 

Для расчёта общей дисперсии  строим дополнительную таблицу 2.6.

 

Таблица 2.6 - Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер магазина п/п	выручка от продаж, млн.руб.
1	247,05	-62,70	3931,29
2	448,81	139,06	19337,68
3	252,38	-57,37	3291,32
4	269,76	-39,99	1599,20
5	331,62	21,87	478,30
6	351,33	41,58	1728,90
7	184,49	-125,26	15690,07
8	381,48	71,73	5145,19
9	171,48	-138,27	19118,59
10	271,14	-38,61	1490,73
11	243,52	-66,23	4386,41
12	314,9	5,15	26,52
13	410,13	100,38	10076,14
14	261,81	-47,94	2298,24
15	187,48	-122,27	14949,95
16	292,38	-17,37	301,72
17	457,1	147,35	21712,02
18	308,76	-0,99	0,98
19	457,24	147,49	21753,30
20	398,67	88,92	7906,77
21	244,24	-65,51	4291,56
22	216,48	-93,27	8699,29
23	296,24	-13,51	182,52
24	299,33	-10,42	108,58
25	315,12	5,37	28,84
26	320,19	10,44	108,99
27	305,67	-4,08	16,65
28	326,33	16,58	274,90
29	342,67	32,92	1083,73
30	384,7	74,95	5617,50
Итого	9292,5	0	175635,88

 

Расчет общей дисперсии:

 

 

Межгрупповая дисперсия  измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х.  вычисляется по формуле

 

,

 

 -групповые средние

 - общая средняя,

-число единиц в j-ой группе,- число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии  строим вспомогательная таблица 2.7. Средние значения  берём из таблицы 2.5.

 

Таблица 2.7 - Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы тыс. руб.	Число магазинов, Среднее значение  в группе
462,57-510,19	3	181,15	-128,6	49613,9
510,19-557,81	10	259,5	-50,25	25250,6
557,81-605,43	8	315,24	5,49	241,121
605,43-653,05	5	371,77	62,02	19232,4
653,05-700,67	4	443,32	133,57	71363,8
Итого	30			165702

 

Расчет межгрупповой дисперсии :

 

 

Рассчитаем эмпирический коэффициент детерминации :

 

 

Вывод. 94% вариации выручки обусловлено вариацией цены товара, а 6% - влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение  оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

 

 

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение  к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе  служит шкала Чэддока (таблица 2.8):

 

Таблица 2.8 - Шкала Чэддока

h	0,1 - 0,3	0,3 - 0,5	0,5 - 0,7	0,7 - 0,9	0,9 - 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

 

Расчет эмпирического корреляционного отношения :

Согласно шкале Чэддока связь между выручкой от продаж и ценой товара является весьма тесной.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,997 вычислите:

Ошибку выборки средней цены товара и границы, в которых она будет находиться в генеральной совокупности.

Ошибку выборки доли магазинов с уровнем цены товара 605,43 тыс.руб. и более и границы, в которой будет находиться генеральная доля.

Известен процент выборки m = 0,1

Средняя ошибка выборки

 

 

Известна вероятность Р = Ф(t) = 0,997; тогда t (из таблицы Лапласа) = 3

Предельная ошибка выборки

 

 

Тогда искомые границы для ср. значения

 

 

Искомая доля

 

 

Тогда средняя ошибка выборки для доли

 

 

Предельная ошибка выборки для доли

 

 

Тогда искомые границы для доли

 

 

Задание 4

Имеются следующие данные:

 

№ предприятия	Товарооборот, млн. руб.
	I квартал	II квартал	относительное отклонение цен во II квартале по сравнению с I, %
1	260,2	301,6	+21
2	330,3	410,0	+11
3	220,0	407,8	+36

 

Рассчитайте сводные индексы:

товарооборота;

физического объема продаж;

цен (по методике Паше).

Определите абсолютное изменение товарооборота под влиянием изменения цен.

Решение

. Общий индекс товарооборота:

 

 или 138,1%

 

Товарооборот в отчётном периоде вырос по сравнению с базисным на 38,1%.

. Общий индекс физического объёма продаж:

 или 113,3%;

 

Физический объём товарооборота в отчётном периоде вырос на 13,3% по сравнению с базисным.

. Общий индекс цен:

Индекс Пааше:

 

 или 121,9%;

 

Цены выросли в среднем на 21,9%.

Каждая величина абсолютного прироста рассчитывается как разность числителя и знаменателя соответствующего агрегатного индекса.

а). Определяем прирост товарооборота вследствие изменения цен:

По методике Пааше:

 

 млн. руб.

 

При увеличении цен товарооборот вырос на 200,98 млн.руб.

 

Аналитическая часть

 

В аналитической части изложены результаты проведенного статистического исследования динамики цен и товарооборота торговой организации.

статистический индекс товарооборот предприятие

Постановка задачи

 

По фирменным магазинам ООО НУМИК имеются следующие данные (таблица 3.1.).

 

Таблица 3.1 - Исходные данные задачи

Вид продукции	Объем реализованной продукции, млн. руб.		Изменение цен на реализуемую продукцию, %
	май	июнь
Колбасные изделия	1430	1520	-1,6
Мясные полуфабрикаты	3340	2984	+9,1

 

Охарактеризовать динамику объема продукции в июне по сравнению с маем и оценить влияние этого фактора на изменение стоимости продукции.