Составление уравнений состояния цепи

Для составления уравнений состояния цепи воспользуемся методом вспомогательных источников: заменим индуктивные элементы источниками тока, а конденсаторы – источниками напряжения (Рис. 4.1.). Расчет получившейся резистивной цепи будем осуществлять методом контурных токов (МКТ):

 

 

 

 

 

Уравнения состояния:

 

 

Произведем машинный расчет характеристического полинома цепи:

 

Проконтролируем полученные результаты способом, описанным в [3, стр. 28]:

 

1. Корни характеристического полинома цепи совпали с корнями знаменателя передаточной функции, который согласно [1, стр. 157] также является характеристическим полиномом цепи.

2. Рассмотрим эквивалентные схемы замещения исходной цепи (Рис. 4.2).

 

Случай а  - вынужденный режим ( ): , . Такие же вынужденные значения получаем по уравнениям состояния цепи, приравняв левую их часть к нулю.

 

Случай б  ( ): , , .

, , .

 

Такие же значения производных получаем из уравнений состояния при .

 

Проведенная проверка позволяет говорить о правильности полученного выше результата.

5. Определение переходной   и импульсной  характеристик

 

Согласно [1, стр. 156] передаточная функция цепи есть изображение по Лапласу импульсной характеристики цепи :

 

H(s) ¸h(t)

 

Также исходя из [1, стр. 156], переходная характеристика цепи  определяется из выражения:

 

h₁(t) ¸H₁(s)=H(s)/s

Таким образом, импульсную и переходную характеристики цепи можно найти, взяв оригинал от изображения  и  соответственно (для этого следует использовать теорему разложения, описанную в [1, стр. 140]). Произведем машинный расчет для данного случая (при этом необходимо полученный результат домножить на  для , на  для ):

 

 

Проконтролируем полученные результаты способом, описанным в [3, стр. 33]: контролю подвергнем конечное и начальное значения полученной переходной характеристики, использовав теоремы о конечном и начальном значении:

 

 

Условие совпадения  и  выполнено, что позволяет говорить о правильности полученного выше результата.

 

 

Построим графики переходной (Рис. 5.2) и импульсной (Рис. 5.1) характеристик цепи, изобразив на графиках кроме этого еще и составляющие аналитического расчета этих характеристик (см. следующий лист).

Согласно Рис. 5.2. длительность переходного процесса составляет примерно 3, что согласуется с нашими предположениями о значении данной величины в п.2 курсового расчета (см. выше).

 

Найдем теперь переходную и импульсную характеристики цепи по уравнениям состояния, полученным в п. 4 курсового расчета. Входное воздействие: , начальные условия – нулевые. Рассчитаем по полученным в п.4 уравнениям состояния реакцию – выходное напряжение . Запишем сначала уравнения состояния в матричной форме:

 

Общий вид уравнения: . Вынужденную составляющую решения находим из уравнений состояния, приведенных выше, приравняв левую часть к нулю. Приняв во внимание, что , проведем машинный расчет для данного случая:

 

 

Таким образом,

 

Свободная составляющая решения: . Частоты  собственных колебаний согласно [1, стр. 157] есть корни характеристического полинома, которые были найдены в п. 4 курсового расчета. Длительность переходного процесса: . Найдем теперь постоянные интегрирования , для чего определим начальные значения .

 

Начальное значение по закону коммутации . Начальное значение первой производной найдем по одному из уравнений состояния: .

 

 

Начальное значение второй производной:

 

 

Для определения постоянных интегрирования решим систему уравнений:

 

 

 

Машинный расчет корней данной системы уравнений:

Таким образом, значение постоянных интегрирования .

 

Получаем реакцию:

 

 

Таким образом: .

 

Для получения импульсной характеристики цепи  продифференцируем переходную характеристику:

 

Данные выражения, что и следовало ожидать, совпадают с результатами расчета по Лапласу переходной и импульсной характеристики цепи.