б) Метод узловых напряжений
12 Рис. 3. Схема при расчете методом узловых напряжений Составим саму систему: . Однако в рассматриваемой схеме одна из ветвей содержит только идеальный источник Э.Д.С. Поэтому, если в качестве опорного выбрать один из узлов этой Е-ветви, то узловое напряжение другого узла Е-ветви будет, очевидно, заранее известно, что приведет к сокращению числа неизвестных узловых напряжений на единицу. При выбранной нумерации узлов известным является напряжение , причем третье уравнение вырождается в неопределенность вида бесконечность=бесконечность. Устранив его и перенеся в оставшихся втором и первом уравнениях слагаемые, содержащие , направо, получаем сокращенную систему узловых уравнений относительно неизвестных узловых напряжений , : Теперь найдем собственные проводимости узлов (сумма всех проводимостей ветвей, входящих в этот узел):
Затем находим общие проводимости узлов (эта величина равна взятой со знаком минус общей проводимости между 2-мя узлами): Далее определяем узловые токи:
После подстановки всех этих значений сокращенная система уравнений принимает такой вид, который можно представить в виде матрицы:
Решив ее, находим узловые напряжения: Напряжение от р-того узла к q-му узлу цепи можно определить по формуле , что позволяет легко найти ток любой ветви схемы. Таким образом, Узел 1 (по 1 закону Кирхгофа): =0 Сравниваем, полученные результаты с результатами, полученными методом контурных токов, и убеждаемся, что все токи совпадают. Часть 2. Задание. Рассчитать переходный процесс в цепи, содержащей две воздушные линии без потерь длиной 100 и 50 км, соединенных согласно схеме Рис.4, включенное под постоянное напряжение со стороны зажимов 1-1. Выходные зажимы замкнуты 2-2’ замкнуты на нагрузке. Обе линии характеризуются волновыми сопротивлениями . Найти распределение токов и напряжений в момент времени, когда отраженные волны пройдут половину длины линии. Скорость распространения волн в линиях одинакова и равна .
Рис. 4. Схема исследования Дано: ; ; ; С=1 мкФ; L=0,1 Гн; R1=400 Ом; R2=200 Oм 1) х1- координаты точек, отсчитываемы от начала первой линии, 2) х1’- координаты точек первой линии, отсчитываемые влево от стыка, 3) х2- координаты точек второй линии, отсчитываемые вправо от стыка, 4) х2’- координаты точек второй линии, отсчитываемые от нагрузки. 5) Решение представим отдельными этапами, разбив его на несколько частей, в соответствии с требованиями условия задачи.
Этап 1. Расчет переходных процессов на стыке линий (до прихода волн, отраженных от конечных зажимов второй линии). Мы знаем, что линия без потерь, значит для падающих волн в любой точке первой линии (до которой они дошли) имеем: Значит, и , то есть напряжение, поданное на зажимы 1-1 и образующее прямую волну без затуханий, приходит к зажимам . В любой точке первой линии напряжение и ток можно представить в виде суммы падающей и отраженной волн: распределение напряжений и тока в произвольный момент времени. В том числе и на стыке (т. е. при х1= :
где , - напряжение и ток в конце первой линии. Из этих уравнений вытекает соотношение . На выходе 2х2-полюсника , где -напряжение и ток в начале второй линии. Уравнениям (1) и (2) формально удовлетворяет схемная модель с сосредоточенными параметрами, изображенная на Рис.5.
Рис. 5. Схема для расчета переходного процесса на стыке линий
Эта расчетная модель справедлива для определения закона изменения напряжения и токов в функции времени только в месте стыка линий, т.е. на зажимах 2х2-полюсника. Входящее в нее сопротивление учитывает влияние второй линии до момента прихода отраженной от нагрузки волны, т.е. пока и . Особенность расчетной схемы состоит в том, что напряжение на ее входе равно .
При этом учитывает влияние первой линии, а влияние второй линии вплоть до прихода к месту стыка отраженной волны. Поскольку мы рассматриваем линию без потерь, то прямая волна приходит к зажимам без затухания. И т.к. это схема с одним реактивным элементом, то можем сразу написать ток переходного процесса в этой линии. – время, за которое волна дошла до стыков . Обозначим время начала переходного процесса как (начало переходного процесса всегда нулевой момент времени) Без решения уравнения найдем ток в этой схеме при включенной под постоянным напряжением схеме:
Рис. 6 .
Рис.7. Схема для расчета эквивалентного сопротивления Общая формула для расчета без дифференциального уравнения: . , Так как , тогда А Волны в линиях придут к точке, отстоящей от места стыка на расстоянии c запаздыванием во времени на интервал . А
Теперь найдем . В нашем случае напряжения, проходящие через ветви, содержащие равны, а так как их сопротивления равны 400 Ом, токи на них тоже равны. Тогда из первого закона Кирхгофа: ( - ток, проходящий через R). , где - прямая волна, которая идет во вторую линию. А
По известным токам найдем напряжения: В
Моменту замыкания ключа соответствует =0. Из ее анализа следует: - ток и напряжение на входе 2х2-полюсника: ;
кВ ;
Рис. 8. Графики токов на стык Рис. 9. Графики напряжений на стыке Следующий шаг- прямое построение распределения напряжений и токов вдоль линий в момент времени (без определения отраженной волны). В каждой точке линии переходные процессы будут в точности повторять процессы на стыке с запаздыванием на время прохождения до нее соответствующей волны от стыка.
Распределение отраженных волн в первой линии: А кВ
Графики распределения напряжения и тока в первой линии построены по формулам:
Распределение преломленных волн во второй линии: А кВ
Так как мы строим графики без определения отраженной волны:
На Рис.10 и Рис.11 представлены графики распределений напряжений и токов вдоль линий в момент времени . При этом, можно заметить, что пространственные кривые , в пределах от 0 до подобны временным зависимостям , , а пространственные кривые – зеркально отраженным временным зависимостям , в тех же пределах. Зеркально потому, что направление - оси противоположно направлению - оси.
Рис. 11. Распределение токов вдоль линий (без определения отраженной волны) Этап 2. Расчет переходных процессов в нагрузке второй линии.
Переходный процесс в нагрузке начинается позже, чем в месте стыка, на время пробега падающей волной всей второй линии, равного . Для расчета переходного процесса мы должны рассмотреть схему, представленную на Рис.12.
Рис. 12. Схема для расчета переходных процессов в нагрузке второй линии , - распределение напряжение и тока во второй линии в произвольный момент времени. , - напряжение и ток в конце второй линии у нагрузки.
Пусть t’’=0 – время начала переходного процесса, когда прямая волна дошла до конца второй линии. Теперь входное напряжение является функцией времени, поэтому проведем расчет этого процесса операторным методом: кВ
Находим операторное напряжение: Z(p)=
Теперь находим оригинал с помощью теоремы разложения: Теорема разложения. Пусть имеется изображение в виде , где G ( p ), H ( p )- полиномы от р. При предположении, что уравнение H ( p )=0 не имеет кратных корней, а также не имеет корней, равным корням уравнения G ( p )=0. При указанных условиях рациональную дробь можно разложить на простейшие дроби и получить, что . Так как , то для искомой величины имеем . ) Находим корни уравнения H ( p )=0:
Все найденные данные подставляем в формулу и получаем: А, при этом Следующим этапом найдем формулы распределения отраженных волн вдоль второй линии в фиксированный момент : , помня, что нам известна А = А Отсюда кВ Проверка. Выражения для отраженных волн можно получить с использованием коэффициента отражения волны напряжения во второй линии в операторной форме. где - операторное сопротивление нагрузки. кВ
Найдем оригинал с помощью теоремы разложения: Все найденные данные подставляем в формулу и получаем: кВ = А Построение графиков. Построим графики в момент времени , когда отраженная от нагрузки волна достигнет половины длины второй линии.
=( - максимальное значение расстояния, которое прошла от нагрузки волна. Расчетные значения напряжений и токов в различных точках линий, полученные путем суммирования соответствующих значений падающих и отраженных волн, сведены в Таблице 1. Графики распределения этих величин вдоль линий изображены на Рис.13 и Рис.14 Рис. 13. Графики распределения напряжений вдоль линии Рис. 14. Графики распределения токов вдоль линии Заключение Мы теоретически рассмотрели различные методы расчета электрических цепей: метод контурных токов, метод узловых напряжений, проверили полученные результаты условием выполнения баланса мощностей. Нашли напряжение между выделенными узлами по законам Кирхгофа по двум различным ветвям. В следующей задаче мы провели расчет переходного процесса в системе длинных линий с помощью метода расчета переходного процесса без составления дифференциального уравнения, операторный метод расчета, а также сделали проверку через коэффициент отражения. Затем мы получили графики распределения токов и напряжений вдоль линии.
12
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (205)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |