ТЕМА 6. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
Понятие предела. предел суммы, произведения и частного. Предел сложной функции. Вычисление пределов. Замечательные пределы. Понятие непрерывности в точке и на интервале. Точки разрыва. Геометрический смысл. Непрерывность суммы , произведения и частного функций. непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A. Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < êx – x0ê < d, выполняется условие êy – Aê < e. Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой . Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: . Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция не является непрерывной в точке x = 2. Функция не является непрерывной в точке x = 0. Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке. Cвойства предела функции. 1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела. 2. , если C — постоянная функция. 3. Если существует и C — постоянная функция, то . 4. Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует , равный . Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы ), если для любого положительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0 < x – a < d будет следовать êB –f(x) ê < e. Согласно приведенному определению . Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы ), если для любого положительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0 < b – x < d будет следовать êC – f(x)ê < e. Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если ( ). Функция непрерывна справа в точке x=0. Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b. Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства: ; Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности: , если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие: ½f(x) – A½ < e. Пусть теперь функция f(x) определена на полу бесконечном промежутке , если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие: ½f(x) – A½ < e. Два, так называемых, "замечательных предела". 1. . Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая является касательной к графику функции в точке . 2. . Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72. Вопросы для самопроверки. 1.Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке. 2.При каких условиях из существования пределов слева и справа следует существование предела функции в данной точке. 3.Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функции? 4.Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией? 5.Приведите примеры бесконечно малых функций: эквивалентных, одного порядка, разного порядка малости. 6.Чему равен предел суммы четырех функций? 7.В чем различие между понятиями предела и непрерывности функции в точке? 8.При каких условиях непрерывна сложная функция?
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (166)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |