Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса
Найти произведение заданных матриц А и В
Решение:
Матрицы: А - размерность , В-размерность . Так как количество столбцов матрицы: А равно количеству строк матрицы В, то произведение А на В существует. Итоговая матрица имеет размерность :
Ответ:
Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса
Решение: а) Решим систему по формулам Крамера Для системы 3-х линейных алгебраических уравнений
если ¹ 0, можно найти единственное решение по формулам Крамера:
, , . ∆ = ; D1= ; D2= ; D3= ;
Найдем значение определителя ∆ по формуле:
Аналогично вычислим значения определителей D1, D2, D3 ∆ = 2·1·3 +4·2·(-2)+4·(-5)·(-1) - (-2)·1·(-1) - 4∙4·3-2·2·(-5)= -20 ¹ 0 D1= -8·1·3 +4·2·18+14·(-5)·(-1) - 18·1·(-1) - 14∙4·3 - (-8)·2·(-5)=-40 D2 = 2·14·3 +(-8)·2·(-2)+4·18·(-1) - (-2)·14·(-1) - 4∙(-8)·3-2·2·18=40 D3= 2·1·18 +4·14·(-2)+4·(-5)·(-8) - (-2)·1·(-8) - 4∙4·18-2·14·(-5)=-80
Сделаем проверку: Получили равенства. Ответ: б) Решим систему матричным методом Систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде: А ∙ X = В, где А - матрица системы из коэффициентов при неизвестных, Х и В-матрицы - столбцы из неизвестных , , и свободных членов соответственно:
. ; .
Для нахождения неизвестных используется формула Х = А-1 ∙ В, где А-1 - обратная матрица к квадратной матрице А Обратная матрица вычисляется по формуле:
А-1= ∙АТ, где АТ = - транспонированная матрица к
- главный определитель матрицы А, Аij - это алгебраическое дополнение равное Aij = (-1)i+jМ Минор - это определитель, полученный из главного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца Для исходной системы:
Найдем обратную матрицу. Значение главного определителя известно: ∆ = -20 ¹ 0 Найдем алгебраические дополнения Аij:
; Умножая обратную матрицу А-1 на , получаем матрицу .
Ответ: в) Решим систему методом Гаусса Это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы. В первом уравнении выбираем коэффициент, отличный от нуля. Затем 1-ое уравнение делим на этот коэффициент, и далее с помощью первого уравнения исключаем первое неизвестное из всех уравнений, кроме первого (вычитанием). Применим метод Гаусса, составив таблицу:
После проделанных операций система привелась к треугольному виду
Начинаем обратный ход метода Гаусса.
Ответ:
3. Показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис в пространстве R 3 , и найти координаты вектора а в этом базисе. Решение
Вычислим определитель, столбцами которого служат координаты векторов а1, а2, а3: Так как Δ ≠ 0, то система векторов а1, а2, а3 образует базис в R3. Вектор а4 разлагается по векторам этого базиса, т.е. справедливо равенство вида
Последнее равенство в координатной форме имеет следующий вид:
Согласно определению равенства векторов и действиям над векторами получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными :
Решим эту систему методом Крамера:
Ответ:
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (161)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |