Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси.
12
Рассмотрим систему стандартного вида (s=1,2) (1) Уравнение Ван-дер-Поля также можно привести к системе стандартного вида:
(2)
Сделаем замену
,
тогда: (3)
Будем считать = . Среднее значение функции за период 2 :
При этом усреднении интегрирование ведется по третьей переменной t в предположении, что и от t не зависят.
Наряду с точной системой рассматривается приближенная
, (s=1,2).
Обе системы, приближенная и точная, решаются при начальных условиях
(4)
Для задач Коши (1) и (4), (3) и (4) справедлива следующая теорема:
Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных функции непрерывны и ограничены. Функции также непрерывны и ограничены в области Г. — 2 -периодические по t. Функции и — удовлетворяют условию Липшица по переменным и (при этих условиях существует и единственно решение). Тогда для и L>0:
(5)
0 (6)
Доказательство: Решение задач Коши (1) и (4), (3) и (4) существует и единственно. Поэтому решение (1) и (4) будем искать методом приближений. Обозначим
(*)
Функция — 2 -периодическая по . Пусть (7)
удовлетворяет условиям Липшица по переменным и . Проинтегрируем функцию :
.
Интеграл и поэтому
(7a)
В промежутке находятся те значения t, для которых будет существовать решение (1) - (4) и оно не выйдет за пределы области G. Это характеризуется так
Из теоремы Пикара следует, что при всех таких t приближенное выражение сходится к решению задачи Коши:
— целую часть от деления обозначим N. Тогда — дробная часть
,
где — остаточный интервал. С учетом возможности такого разбиения
Если рассмотреть , то последнее выражение перепишется в виде:
= ,
где с учетом (4)
=
Рассмотрим интеграл при
и от не зависят. Из равенств (7а) следует, что последнее выражение равно нулю .
Вычислим
То есть
(8)
Мы можем сказать, что в (8), все, что стоит под знаком суммы
Так как
, то последнее неравенство равносильно следующему:
Поэтому:
= , (9)
где
(10)
— удовлетворяет условию Липшица, поэтому мы можем воспользоваться этим, переходя к оценкам
(11)
(12)
Пусть , причем , тогда:
(13)
Оценим
(14)
Фактически нужно оценить величину .
Используем условие Липшица для , тогда последнее неравенство
(последняя оценка получена с помощью неравенства (11)). (15)
(16)
Можно увидеть следующую закономерность
(17)
По методу математической индукции, для оценки верны. Покажем их справедливость и для
Используя формулу (13), далее получим:
(18)
Теперь в этом неравенстве перейдем к пределу при (19)
Обозначим через
Так как мы пользовались условиями Липшица, нужно убедиться, что приближения не выходят из области G.
— по теореме Пикара это не выходит за пределы области G, то есть
В силу плотности числовой прямой
, где (20) Проверим, вышло ли первое приближение за пределы области G. Пользуясь оценками (19) и (20), имеем:
Возьмем , тогда
Аналогично проверяем второе приближение
Возьмем , тогда
И если , если Если мы перейдем к перейдем к пределу при , то получим: (21) Если мы будем выбирать из условия (21), то использование условия Липшица законно. необходимо согласовывать с с помощью (21) и
Решение уравнения
Рассмотрим уравнение
(1)
Данное уравнение второго порядка описывает колебательное движение. Здесь ω – некоторая действительная постоянная, а ε – малый параметр. Делаем в уравнении (1) замену: тогда получим систему
(2) Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и , полагая здесь и далее , согласно формулам
(3)
Далее, дифференцируем (3) по t, считая и φ .
(4)
Подставим (4) в (2), учитывая (3).
(5)
Разрешим эту систему относительно
Домножим второе уравнение на , тогда имеем:
(6)
Система (6) полностью эквивалентна уравнению (1). Соответствующая системе (6) усредненная система имеет вид (7)
В системе (7) и имеют вид:
то есть
Таким образом имеем
или
(8)
Чтобы найти в явном виде закон изменения амплитуды в зависимости от времени, необходимо решить первое уравнение системы (8):
Умножим обе части равенства на :
.
Сделаем замену
, умножаем обе части равенства на :
Так как , то тогда , или
Предположим, что , тогда
; ;
+ . Отсюда находим
(9а)
Колебания представятся следующим образом (находим выражение для приближенного значения x в явном виде)
(9)
Найдем
Динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в том, что каково бы ни было значение , малое или большое, все равно при . Как видно из выражения (9), если начальное значение амплитуды =0, амплитуда останется равной нулю для любого t, и, следовательно, получим х=0, то есть тривиальное решение уравнения (1). Это тривиальное решение, очевидно, соответствует статическому режиму, то есть отсутствию колебаний в системе. Однако, исходя из формулы (9), нетрудно заключить, что этот статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни было мало начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться к значениям, равным . Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии покоя, автоматически возбуждаются колебания с амплитудой, то есть система самовозбуждается. Из выражения (9) следует, что если , то , и для любых очень быстро приближается к значению независимо от . Это решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму:
(10)
Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к стационарному колебанию, то есть колебания будут устойчивы. Режимы с постоянной амплитудой, для , приводят к уравнению
А = =0
.
Корни этого уравнения ;
; <0
Таким образом, соответствует неустойчивому состоянию равновесия, а соответствует устойчивому предельному циклу. Для любого заданного положительного сколь угодно малого значения параметра всегда можно найти такое достаточно малое значение параметра , для которого уравнение (1) или, что то же самое, система (2), имела бы предельный цикл, лежащий в окрестности окружности , причем этот предельный цикл устойчив, если , и неустойчив, если . Все эти рассуждения следуют из теоремы Мандельштама и Папалекси. Наряду с точной системой рассматривается приближенная
, (s=1,2) .
Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных функции непрерывны и ограничены. Функции также непрерывны и ограничены в области Г. — 2 -периодические по t. Функции и — удовлетворяют условию Липшица по переменным и (при этих условиях существует и единственно решение). Тогда для и L>0 : , 0 ,
где (s=1,2) = (s=1,2)
Проверим выполнение условий теоремы для нашего уравнения. Из системы (6) находим и :
Очевидно, что и непрерывны. , из этих неравенств видно, что и ограничены для любого конечного . Функции и для системы (2) имеют вид:
.
Из последней системы видно, что и непрерывны и ограничены для любого конечного . и — периодические по t с любым периодом, в том числе и . Функции и , и непрерывно дифференцируемы по t, а следовательно удовлетворяют условию Липшица. Пусть и — решения точной системы (6). Тогда для и : , . ( В нашем случае , определяется уравнением (9а)). Выводы
В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения. В заключение заметим, что метод Ван-дер-Поля позволил исследовать достаточно широкий круг задач нелинейной механики (с одной степенью свободы), и задач радио- и электротехники, обладает наглядностью и удобен для проведения расчетов. Благодаря этому методу созданы генераторы стационарных колебаний в радиоприемных и радиопередающих устройствах, которые используются и по сей день в современной технике. В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.
Список использованной литературы
1. Ю.А. Митропольский Метод усреднения в нелинейной механике, «Наукова думка» Киев — 1971г. 2. Н.Н. Моисеев Асимптотические методы нелинейной механики, М.: Наука, 1981г. 3. А. Найфэ Методы возмущений. Издательство «Мир», Москва—1976г. 4. А. Найфэ Введение в методы возмущений. «Мир», 1984г. 5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Физматгиз, М.,1959г.
12
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (204)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |