Практическая работа №6. Средние величины и показатели

вариации

 

Задача 1. В результате проверки 2 партий сыра перед отправкой его потребителям установлено, что в 1 партии высшего сорта было 3942 кг, что составляет 70,4% общего веса сыра этой партии. Во второй партии высшего сорта было 6520 кг., что составляет 78,6% общего веса сыра этой партии.

Определить процент сыра высшего сорта в среднем по 1 и 2 партии вместе.

Решение.

номер партии	удельный вес сыра высшего сорта, %	масса сыра, кг.
1	70,4	3942
2	78,6	6520

 

Средний процент сыра высшего сорта:

Ответ: процент сыра высшего сорта в среднем по 1 и 2 партии вместе составляет 75,3%.

 

Задача 2. Для изучения качества пряжи проведено обследование 100 одинаковых по массе образцов пряжи, в результате чего получены следующие результаты:

Группа образцов пряжи по крепости нити, г.		Число проб
до 160		3
160	180	5
180	200	25
200	220	40
220	240	20
240	260	7

 

Определите:

1. среднюю крепость нити;

2. моду;

3. медиану.

Решение.

Группа образцов пряжи по крепости нити, г.	Число проб
150	3
170	5
190	25
210	40
230	20
250	7

 

Найдем среднюю крепость нити

 

Чаще всего встречаются нити с крепостью 180 г. (таких проб максимальное число – 40), следовательно

Найдем медиану.

Группа образцов пряжи по крепости нити, г.	Число проб	накопленная частота
150	3	3
170	5	8
190	25	33
210	40	73
230	20	93
250	7	100

 

Накопленная частота превышает значение 50 с 4 интервала.

где xMe — нижняя граница медианного интервала;

iMe — ширина медианного интервала;

∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);

S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;

fMe — число наблюдений в медианном интервале.

Ответ: средняя крепость нити , ,

 

Задача 3.

Имеются данные о распределении банков по величине полученной прибыли в год:

размер прибыли, млн. руб.		число банков
3,7	4,6	2
4,6	5,5	4
5,5	6,4	6
6,4	7,3	5
7,3	8,1	3

 

Определите средний размер прибыли одного банка, моду, медиану.

Решение.

Найдем средний размер прибыли

 

Чаще всего встречаются банки с размером прибыли от 5,5 до 6,4 млн. руб.. (число таких максимальное– 6), следовательно

Найдем медиану.

размер прибыли, млн. руб.		число банков	накопленная частота
3,7	4,6	2	2
4,6	5,5	4	6
5,5	6,4	6	12
6,4	7,3	5	17
7,3	8,1	3	20

 

Накопленная частота превышает значение 10 с 3 интервала.

где xMe — нижняя граница медианного интервала;

iMe — ширина медианного интервала;

∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);

S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;

fMe — число наблюдений в медианном интервале.

Ответ: средний размер прибыли 6,52 млн. руб , ,

 

Задача 4.

Имеются данные о посевной площади, урожайности и валовом сборе в двух районах области зерновых культур.

номер совхоза	первый район		второй район
	валовый сбор, ц	урожайность, ц/га	посевная площадь, га	урожайность, ц/га
1	5300	24	310	25
2	6500	27	340	28
3	6300	32	300	31

 

Определить урожайность зерновых в каждом районе области. Сравнить полученные данные по районам. Указать виды рассчитанных средних величин.

Решение.

Средняя арифметическая простая

Урожайность зерновых во 2 районе больше на 0,33 ц/га.

 

Средняя арифметическая взвешенная

номер совхоза	первый район			второй район
	валовый сбор, ц	урожайность, ц/га	посевная площадь, га	посевная площадь, га	урожайность, ц/га	валовый сбор, ц
1	5300	24	220,83	310	25	7750
2	6500	27	240,74	340	28	9520
3	6300	32	196,88	300	31	9300

Урожайность зерновых во 2 районе больше на 0,48 ц/га.

 

Задача 6.

По приведенным данным вычислите среднюю урожайность зерновых с одного гектара за отчетный период и на предстоящий год.

бригада	отчетный год		прогноз на предстоящий год
	урожайность, ц/га	валовый сбор, ц	урожайность, ц/га	посевная площадь, га
1	22	2640	23	130
2	24	2400	25	105
3	21	3150	23	140

 

Решение.

бригада	отчетный год			прогноз на предстоящий год
	урожайность, ц/га	валовый сбор, ц	посевная площадь, га	урожайность, ц/га	посевная площадь, га	валовый сбор, ц
1	22	2640	120	23	130	2990
2	24	2400	100	25	105	2625
3	21	3150	150	23	140	3220
Итого		8190	370		375	8835

 

 

В прогнозном году планируется в среднем увеличить урожайность до 23,56 ц/га., что будет выше урожайности текущего года на 1,42 ц/га.

 

Задача 7.

Имеются данные по группе банков (млн. руб.)

группы банков по размеру уставного капитала		число банков
до	20	48
20	30	120
30	40	75
40	50	62
50	и выше	54

 

Определить средний размер уставного капитала по группе банков, дисперсию и коэффициент вариации уставного капитала.

Решение.

группы банков по размеру уставного капитала	число банков
15	48
25	120
35	75
45	62
55	54

 

Средний размер уставного капитала.

Решение.

Ре

 

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Ответ: , .

 

Задача 8.

Имеются следующие данные о возрастном составе работников цеха (лет): 18,38,28,29,26,38,34,22,28,30,22,23,35,33,27,21,30,32,28,25,29,26,31,24,29,27,32,25,29,29.

Для анализа распределения рабочих цеха по возрасту требуется:

1. построить интервальный ряд распределения (число интервалов 7);

2. дать графическое изображение ряда;

3. вычислить показатели центра распределения, показатели вариации и формы распределения;

4. Сформулировать вывод.

 

Решение.

Исходные данные:

18	28	30	29
38	30	32	27
28	22	28	32
29	23	25	25
26	35	29	29
38	33	26	29
34	27	31
22	24	24

 

Определим шаг интервала по формуле

 

 

Интервальный статистический ряд:

№				середина интервала
1	16,33	19,67	1	18,00
2	19,67	23,00	3	21,33
3	23,00	26,33	6	24,67
4	26,33	29,67	10	28,00
5	29,67	33,00	6	31,33
6	33,00	36,33	2	34,67
7	36,33	39,67	2	38,00
			30

 

Графическое изображение ряда

Среднее значение

 лет

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Таким образом, средний возраст рабочих цеха – 28,11 лет.

Интервал отклонения, определяемый средним квадратическим отклонением, составляет отклонение от среднего на 4,7 года. То есть диапазон возраста сотрудников цеха составляет (23,4; 32,7) лет.

Графическое представление ряда симметрично относительно центра, следовательно, уместно говорить о нормальном распределении данных выборки, что и подтверждает коэффициент вариации, который составляет 16,6% <30%.

 

Задача 9.

В трех партиях продукции, представленных на контроль качества, обнаружено: первая партия 1000 изделий, из них 800 годных, 200 бракованных; вторая партия – 800 изделий, из них 720 годных, 80 – бракованных; третья партия – 900 изделий, из них 855 годных, бракованных 45.

Определить в целом для партии показатели:

 - средний процент годной продукции и средний процент брака;

- дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации готовой продукции.

 

Решение.

	всего	годных	бракованных
1 партия	1000	800	200
2 партия	800	720	80
3 партия	900	855	45

 

Средний процент годной продукции

Средний процент бракованной продукции

Дисперсия удельного веса продукции

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Задача 10.

Крестьянские хозяйства подразделяются по размерам угодий следующим образом:

размер земельных угодий, га		число хозяйств, ед
до	3	30
4	5	50
6	10	400
11	20	800
21	50	1800
51	70	600
71	100	700
101	200	700
201	и более	120

 

Рассчитайте:

- средний размер земельных угодий;

- показатели вариации: размах, среднее линейное, среднее квадраическое отклонение, коэффициент вариации. Оцените количественную однородность совокупности;

- моду и медиану.

Решение.

размер земельных угодий, га	число хозяйств, ед
1,5	30
4,5	50
8	400
15,5	800
35,5	1800
60,5	600
85,5	700
150,5	700
250,5	120

 

Средний размер земельных угодий:

Размах

Среднее линейное

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Поскольку значение коэффициента вариации меньше 30%, следовательно, совокупность является однородной.

Мода. Наибольшая частота 1800 соответствует размеру в 35,5 га, следовательно, Мо=35,5 га.

Медиана

размер	число хозяйств, ед	накопленная частота
1,5	30	30
4,5	50	80
8	400	480
15,5	800	1280
35,5	1800	3080
60,5	600	3680
85,5	700	4380
150,5	700	5080
250,5	120	5200

 

Накопленная частота превышает значение 2600 с 5 интервала.

где xMe — нижняя граница медианного интервала;

iMe — ширина медианного интервала;

∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);

S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;

fMe — число наблюдений в медианном интервале.