Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену

Введение

 

Тема реферата «Статистические методы оценки прочности пластмасс».

Прочность пластических масс и изделий из них определяется максимальной нагрузкой или максимальным напряжением, которые образец или изделие могут выдержать без разрушения. Прочность зависит от вида пластмассы и определяется путем специальных физико-механических испытаний. Однако в отличие от традиционных конструкционных материалов испытания пластмасс дают дополнительный разброс показателей. Он объясняется суще6ствованием двух видов погрешностей: 1) систематических и 2) случайных. Систематические погрешности можно выделить и учесть при оценке прочности, так как их существование связано с малой точностью используемых методик и приборов. Случайные погрешности учесть очень трудно, так как нельзя предусмотреть заранее, в каком месте образца или изделия появится слабое место. Случайные погрешности возникают вследствие нерегулярного строения, неоднородности, наличия ослабленных мест и дефектов в структуре. Такие ослабления вызывают неравномерность распределения напряжений, концентрацию напряжений на микродефектах, что ведет к возникновению очага разрушения и последующему разрыву.

Случайные погрешности учитываются с помощью закономерностей теории вероятности. Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины, которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, не учитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того же материала используется статистическая обработка данных. Полученные статистические характеристики позволяют сделать правильное суждение о полученных данных.

Статистические характеристики

 

1) Среднее арифметическое значение случайной величины:

 

x = (x₁+x₂+x₃+۰۰۰+x_n) = (Σ x_i) / n,

 

где n – количество наблюдений в выборке.

2) Эмпирическое среднеквадратическое отклонение:

 

S_n = √ Σ(x_i – x)² / (n-1)

 

Берется только положительное значение.

3) Дисперсия:

 

D_n = S_n² = Σ(x_i – x)² / (n-1)

 

Если n > 50, то (n-1) можно заменить на n.

4) Доверительный интервал:

 

‌  x – x ‌ ≤ S_n / √n ∙t_α(n),

 

где х – среднее значение величины для бесконечно большого числа измерений (генеральной совокупности);

t_α(n) – коэффициент Стьюдента, значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительной вероятности α.

5) Коэффициент вариации:

 

ν_х = S_n /х · 100% или ν_х = S_n /х

 

Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену

 

Основными условиями обеспечения прочности любого материала являются:

 

По напряжениям     n = σ_раз/σ_{max экв} ≥ [n]

По нагрузкам          n = R/Q ≥ [n],

 

где n – запас прочности;

σ_раз – разрушающее напряжение;

σ_maxэкв – максимальное эквивалентное действующее напряжение;

R – разрушающая нагрузка;

Q – действующая нагрузка;

[n] – допускаемый запас прочности.

В основе оценки лежат:

1) статистическая природа прочности пластмассы;

2) возможность вероятностного распределения действующих нагрузок и напряжений.

Это позволяет построить графики плотностей вероятности распределения Р(х) по действующему напряжению σ и пределу прочности σ_в. При этом запас статистической прочности будет равен:

 

n = σ_в / σ_max.

Считаем, что σ_в и σ_max известны. В точке А кривые распределения нагружающих и разрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно σ > σ_А и σ_в < σ_А, возможно разрушение.

Вероятность разрушения по Серенсену в предположении независимости событий:

Р_раз = Р (σ > σ_А)·Р(σ_в < σ_А) = S,

 

где S – площадь заштрихованного участка.

Вероятность того, что случайная величина σ_А будет меньше заданного значения σ, равна:

 

Р (σ > σ_А) = ½ + Ф[(σ_А – σ) / S_д],

 

где Ф – табулированная функция Лапласа;

S_д – среднее квадратическое отклонение действующего напряжения.

Табулированная функция Лапласа равна:

 

₂

Ф[(σ_А – σ)·/S_д] = 1/√2π · ∫е^{-1/2 ξ} ·dξ

 

где ξ = (σ_А-σ_ср) / S_д; dξ = dσ_А / S_д

Вероятность того, что случайная величина σ_А будет больше заданного значения σ_в, равна:

 

Р(σ_в < σ_А) = ½ – Ф[(σ_А – σ_{в ср}) / S_в],

 

где S_в – среднее квадратическое отклонение разрушающего напряжения.

В предположении того, что закон распределения случайных величин нормальный, можно записать:

 

Р_раз = {½ + Ф[(σ_А – σ)/S_д]}· {½ – Ф[(σ_А – σ_{в ср})/S_в]}

Плотность распределения при нормальном законе распределения равна:

 

_{2 2}

Р(х) = 1/(S·√2π)· e ^{– (x-xср) /2S}

 

Для точки А величина σ может быть найдена из равенства:

 

_{2 2 2 2}

1/S_д·e^{-(σА-σср) / 2Sд} = 1/S_в·e^{-(σА-σвср) / 2Sв}

или Z_д² – Z_в² = -2 ln(S_д/S_в),

 

где Z_д = (σ_А-σ_ср) / S_д; Z_в = (σ_А-σ_вср) / S_в.

 

Величины Z_д и Z_в называются нормированными отклонениями.

Последнее уравнение решается относительно σ_А. Затем определяется Р_раз, представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться с известными предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально на основе опыта эксплуатации подобных конструкций.

Через Р_раз можно найти коэффициент надежности Н:

 

Н = lg (1/P_раз)

Р_раз = 1 – Р_нер; Р_нер = 1 – Р_раз

 

При вероятности неразрушения Р_нер, равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999, соответственно Н равно 1; 2; 3; 4.