Вариация признаков в совокупности и значение её изучения

 

Составной частью сводной обработки данных статистического наблюдения является построение рядов распределения. Цель его - выявление основных свойств и закономерностей стат. совокупности.

Различают два типа рядов распределения:

атрибутивный;

вариационный.

Ряды распределения, построенные по качественным признакам, называют атрибутивными. (Например, распределение население по полу, характеру труда, национальности и т.д.)

Ряды распределения, построенные по количественному признаку называются вариационными. Числовые значения признака - вариантами.

Например, себестоимость 1 кВт/ч электроэнергии по различным тепловым станциям:

 

Станции	1	2	3	4	5
с/с 1кВт/ч руб	0,58	0,66	0,59	0,67	0,66

 

Здесь представлены четыре варианты признака в пределах от 0,58 до 0,67 руб. Колебания себестоимости 1 кВт/ч электроэнергии на различных ТЭЦ обусловлены различными факторами, часто действующими в противоположных направлениях (например, снижение уд. расхода топлива ведёт к снижению себестоимости 1 кВт/ч, а повышение цен на топливо - к увеличению себестоимости). В результате совместного действия многих факторов складывается величина собственности 1 кВт/ч на отдельных ТЭЦ.

Изучение характера и степени вариации признаков и отдельных единиц совокупности является важнейшим вопросом всякого статистического исследования. Данные о стоимости 1 кВт. ч электроэнергии по 5 ТЭЦ образуют так называемый первичный ряд. При наличии достаточно большого количества вариантов значений признака первичный ряд становится труднообозримым и непосредственное рассмотрение его не дает представления о распределении единиц по величине признака в совокупности. Первым шагом в упорядочении первичного ряда является его ранжирование, т.е. расположение всех вариантов ряда в возрастающем (или убывающем) порядке x₁£ x₂£…£ x_i£…£ x_n.

В нашем примере ранжированный ряд имеет вид:

 

1	3	2	5	4
0,58	0,59	0,66	0,66	0,67

 

Рассматривая первичный ряд можно видеть, что варианты признака у отдельных единиц совокупности повторяются.

Число повторений отдельных вариантов называют частотой (обозначим ƒ)

Сумма частот, равная объему изучаемой совокупности - n.

По характеру вариации различают дискретные и непрерывные признаки.

Дискретные признаки отличаются друг от друга на некоторую конечную величину, т.е. даны в виде конкретных чисел. (Например, число детей в семье).

Непрерывные признаки могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину и в определенных границах принимать любые значения. Например, зарплата рабочих, % выполнения.

Способы построения вариационного ряда для этих видов признаков различны. Для построения дискретного ряда с небольшим числом вариантов достаточно перечислить все встречающиеся варианты значений признака (x_i), а затем подсчитать частоту повторений каждого варианта ƒ_{i. (}Например, распределение студентов по успеваемости и т.п.)

Ряд распределения принято оформлять в виде таблицы, например, распределение рабочих участка по квалификации.

 

Таблица 1.

Тарифный разряд рабочего (xi)	Число рабочих, имеющих этот разряд (ƒi)	Частости (vi)	Накопление частоты (Si)
1	2	3	4
2	1	0,05	1
3	5	0,25	6
4	8	0,40	14
5	4	0, 20	18
6	2	0,10	20
Итого	20	1,00

 

Таким образом, ряд первичных данных, характеризующих квалификацию двадцати рабочих, заменен коротким рядом, состоящим из 5 групп. Вместо абсолютного числа рабочих, имеющих определенный разряд, можно установить долю рабочих этого разряда.

Частоты, представленные в относительном выражении, называют частостями (выражаются в долях единиц или %, обозначаются v_i).

В случаях, когда число вариантов дискретного признака велика, а также при анализе вариации непрерывного признака строятся интервальные ряды распределения.

Интервал указывает пределы значений варьирующего признака и обозначаются нижней и верхней границами интервала. Такие распределения наиболее распространены в практике статистической работы.

При построении интервальных рядов необходимо прежде всего установить число групп (интервалов). Для этого нужно определить величину интервала (h). Для построения вариационного ряда с равными интервалами следует:

определить размах вариации ( R ) - разность между максимальным и минимальным значением признака:

 

R = x _max - x _min;

 

Размах вариации делится на число групп k, т.е. . Число групп приблизительно определяется по формуле Стерджесса

 

k » 1+3,322 lg n,

 

где n - число изучаемых единиц совокупности. Это выражение, почти всегда дробное число, округляем до целого.

Величина интервала должна определяться в соответствии с точностью данных наблюдения: если исходные данные представлены целыми числами, то и величина интервала округляется до ближайшего целого числа.

Далее можно определить границы всех интервалов ряда распределения. Нижнюю границу I-го интервала можно принять равной минимальному значению признака.

При построении интервальных рядов для непрерывных признаков имеет место совпадение верхних границ предшествующих интервалов и нижних границ следующих за ними интервалом. В какой интервал относить единицы совокупности.

Рассмотрим пример построения ряда распределения по данным о среднегодовой стоимости основных фондов 20 предприятий главка одного министерства (млн. рублей): 3,7; 4,3; 6,7; 5,6; 5,1; 8,1; 4,6; 5,7; 6,4; 5,9; 5,2; 6,2; 6,3; 7,2; 7,9; 5,8; 4,9; 7,6; 7,0; 6,9.

Определяем количество групп вариационного ряда:

 

k » 1+3,322 lg 20 = 1+3,322*1,301»5,32=5 (групп).

Величина интервала  млн. руб.

 

В результате группировки получим ряд распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных фондов.

 

Таблица 2.

Среднегодовая стоимость ОФ, млн. руб.	Число предприятий	Накопление частоты
3,7 - 4,6	2	2
4,6 + 5,5	4	6
5,5 + 6,4	6	12
6,4 + 7,3	5	17
7,3 + 8,2	3	20

 

Значения признака у отдельных единиц совпала с границами интервала (3,7; 4,6 и 6,4). Так как x _min = 3,7 и совпадает с нижней границей I‑го интервала и включается в этот интервал, то и другие значения следует включать в интервал, нижняя граница которого совпадает с указанным значением (4,6 - включается во II‑й интервал, а 6,4 - в IV-ый).

Если приведенный вариационный ряд с неравными интервалами, то для правильного представления о характере распределения необходимо рассчитать абсолютную и относительную плотности распределения.

Абсолютная плотность:

;

Относительная плотность:

 

Эти показатели необходимы для преобразования интервалов изменения оценки данных, собранных по различным совокупностям и по разному обработанных.

Например, по двум предприятиям известно распределение рабочих по проценту выполнения норм выработки.

 

Таблица 3.

Завод 1		Завод 2
Группы рабочих	Кол-во рабочих, % к итогу	Группы рабочих	Кол-во рабочих, % к итогу
До 90	2	До 100	8
90-100	3	100-120	40
100-110	50	120-150	20
110-120	30	150-180	15
120-140	8	180 и выше	17
140-150	5
150-160	2
ИТОГО	100		100

 

Воспользуемся укрупнением интервалов для перегруппировки данных.

 

Таблица 4.

Группы рабочих по проценту выполнения норм выработки	Количество рабочих,% к итогу
	Завод 1	Завод 2
До 100	5	8
100-120	80	40
120-150	13	20
150 и выше	2	32
ИТОГО	100	100

 

Можно воспользоваться и другой группировкой по проценту выполнения норм выработки, например, выделить такие интервалы:

 

Группы рабочих	1	2	3	4	5
% выполнение нормы выработки	До 100	100-110	110-120	120-140	140-160

 

Для такой группировки возникает необходимость расширения ряда распределения рабочих Завода 2.

Если известна относительная плотность распределения, то частости соответствующего интервала можно определить: произведение плотности на величину интервала.

v_i=m_0i´h.

По данным таблицы 3 определяем плотности распределения группы рабочих по проценту выполнение норм выработки для интервалов:

 

ІІ - го: 100-120 m₀₂=2,0 (40/20)

ІІІ - го: 120-150 m₀₃=2/3 (20/30)

IV - го: 150-180 m₀₄=1/2 (15/30)

 

Тогда количество рабочих (% к итогу) Завода 2, выполняющих норму на 140‑160% определяются так:

 

2/3´10+1/2´10=12.

 

Результаты перегруппировки представлены в таблице 5.

 

Таблица 5.

Группы рабочих по проценту выполнения норм выработки	Количество рабочих,% к итогу
	Завод 1	Завод 2
До 100	5	8
100-110	50	20
110-120	30	20
120-140	8	13
140-160	7	12
160 и выше	-	27
ИТОГО	100	100