Показатели центра распределения

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются средняя арифметическая, мода и медиана.

Общие понятия о средних величинах и их свойствах рассматривались в предыдущей лекции. Здесь же мы рассмотрим расчет показателей центра распределения для вариационных рядов.

Напоминаю, что средняя арифметическая рассчитывается по формуле:

В интервальном ряду средняя арифметическая определяется по формуле:

,

где x’ - средина соответствующего интервала;

f - частота повторений варианты признака.

В отличие от алгебраических средних, которые в значительной мере являются абстрактной характеристикой статистического ряда, мода и медиана выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами этого ряда.

Мода - это наиболее часто встречающаяся величина признака в данной совокупности.

В вариационном ряду моду будет представлять варианта, которая обладает наибольшей частотой.

В дискретном ряду распределения мода определяется просто.

Пример 1. Распределение семей по числу совместно проживающих членов семьи.

Таблица.

Модой в данном примере являются 3 члена семьи, т.к этой величине соответствует наибольшая частность (37).

Мода интервального вариационного ряда определяется по формуле:

;

где x₀ - начало модального интервала,

h - величина интервала (модального),

f₀ - частота модального интервала,

f_-1 - частота предмодальная,

f₊₁ - послемодальная частота.

Используя данные табл.2 определим моду:

При неравных интервалах для расчета моды применяется эта же формула, но вместо частот в ней следует использовать плотность распределения.

Медианой в статистике называется численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда.

Порядковый номер медианы определяется следующим образом: численность (дискретного) ряда увеличивается на единицу и делится пополам, т.е. (n+1) /2.

Если вариантов - четное число, то медиана определяется как среднее из двух центральных вариантов, порядковые номера которых n/2 и (n/2) +1. Так, если в ряду распределения 100 единиц, то в центре стоят единицы с порядковыми номерами 100: 2=5 и 100: 2+1=51 и медиана должна быть получена как средняя из величин этих вариантов. Однако, если единиц в совокупности достаточно много и различия между величинами рядом стоящи вариантов небольшие, то можно считать медианой один из центральных вариантов с порядковым номером n/2. Так обычно делают, определяя медиану при четном числе членов ряда.

При определении медианы для интервальных рядов, вначале определяется медианный интервал, т.е. интервал, в котором лежит медиана. Он определяется также как и при определении медианы дискретного ряда, т.е. подсчитывают суммы накопленных частот.

,

Где x₀ - нижняя граница медианного интервала,

h - величина интервала,

S_-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

f_ме - частота медианного интервала.

Моду и медиану можно определить графически. Медиана определяется по кумулянте. Моду - по гистограмме распределения.