Электрическая емкость и постоянная времени

В цепях, изображенных на рис. 3 и 4, замыкание или размыкание ключа производит мгновенные и одновременные перемены тока и потенциала. Конденсаторы вводят в рассмотрение движения тока элемент времени. Они аккумулируют и хранят электрический заряд, и когда они присутствуют в цепи, перемены тока и напряжения не будут одновременными.

Рис. 6. Емкости в электрической цепи. А, В и С представляют собой идеальные цели без сопротивления. Когда ключ S1 замкнут (А), емкость заряжается мгновенно до напряжения V0. Если затем S1 разомкнуть (В), потенциал останется на емкости. Замыкание ключа S2 (С) мгновенно разряжает емкость. На (О) емкость разряжается через сопротивление R. Максимальный ток разряда I = V0/R. .

Конденсатор состоит из двух проводящих электричество пластин (обычно металлических), разделенных изолятором (воздухом, слюдой, маслом или пластиком). Когда на пластины прикладывается напряжение (рис. 6А), заряд моментально перемещается с одной пластины на другую по наружной цепи. Однако, когда конденсатор полностью заряжен, ток прекращается, так как он не может проходить через изолятор. Емкость (С) конденсатора определяется количеством заряда (q) который он может сохранять на каждый вольт, приложенный к нему:

Единица измерения емкости — кулон/вольт, или фарад (Ф). Чем больше размер пластинок и чем они ближе друг к другу, тем больше емкость. Конденсатор емкостью 1 фарад очень большой; часто используемые емкости — порядка микрофарад (мкФ) и меньше.

Когда ключ на рис. 6А замыкается, происходит моментальное разделение зарядов на пластинах. Количество заряда, хранящегося в конденсаторе, пропорционально его емкости и величине приложенного к нему напряжения (V₀,). Когда ключ размыкается, как на рис. 6В, заряд конденсатора остается, так же как и напряжение (V) между пластинками. (Можно иногда получить неожиданную электротравму от электронной аппаратуры, когда она уже была выключена, потому что некоторые конденсаторы в цепи могут остаться заряженными). Конденсатор можно разрядить замыканием второго переключателя, как показано на рис. 6С. Движение тока опять же будет мгновенным, возвращая заряд и напряжение конденсатора к нулю. Если же разряжать конденсатор через сопротивление (R, рис.6D), разрядка будет постепенной. Это происходит потому, что сопротивление ограничивает величину тока. Если напряжение в конденсаторе — V, тогда по закону Ома максимальный ток равен I = V/R. В цепи без сопротивления величина тока увеличивается, становится бесконечно большой и конденсатор разряжается за бесконечно малый промежуток времени; если сопротивление очень большое, конденсатор разряжается очень долго. Скорость разрядки в данный момент времени, dq/dt, соответствует току, протекающему в этот момент. Иначе говоря, dq/dt = -V/R (с отрицательным знаком, потому что заряд уменьшается со временем), где V, первоначально равное напряжению батареи, уменьшается по мере разряжения конденсатора. Так как g = CV, dq/dt = CdV/dt, можно написать CdV/dt = —V/R, или

Рис. 7. Зарядка емкости. На (А) емкость заряжается со скоростью, определяемой сопротивлением. На (В) скорость зарядки зависит от двух сопротивлений цепи. На (Е) емкостной ток и напряжение на обкладках емкости показаны как функция времени. Напряжение достигает максимума при полном заряде емкости, то есть когда ток больше не течет через емкость. На (С) и (D) показаны гидравлические аналоги цепей (А) и (В).

Это уравнение показывает, что темп потери напряжения в конденсаторе пропорционален остающемуся напряжению. Таким образом, при уменьшении напряжения уменьшается скорость разрядки. Постоянная пропорциональности \/RC является константой скорости (темпа) для процесса, RC — это его постоянная времени. Подобный процесс постоянно возникает в природе. Например, скорость, с которой вода вытекает из ванной уменьшается при уменьшении глубины и, следовательно, давления на водосток. В этом случае процесс разрядки описывается экспоненциальной функцией

где V₀, — начальный заряд конденсатора, a  = RC — постоянная времени. Подобным образом, когда конденсатор заряжается через сопротивление, как показано на рис. 7, процесс зарядки занимает ограниченное время. Напряжение между пластинами увеличивается со временем, пока не достигает напряжения батареи, и ток прекращает проходить. Процесс зарядки станет возрастающим экспоненциально, с постоянной времени  = RC:

Данные примеры иллюстрируют другое свойство конденсатора. Ток протекает в конденсатор и из конденсатора только при изменении потенциала:

Когда напряжение на конденсаторе постоянно (dV/dt = 0), емкостной ток I_с равен нулю. Другими словами, емкость имеет «бесконечное сопротивление» для постоянной разности потенциалов и «низкое сопротивление» для быстро меняющегося потенциала. На рис. 7В показана цепь, в которой ток протекает через сопротивление и конденсатор, соединенные параллельно; на рис. 7Е показан временной ход емкостного тока и напряжения.

Свойства конденсатора в электрической цепи могут быть проиллюстрированы аналогией с немного более усовершенствованной гидравлической системой, изображенной на рис. 7С. Конденсатору соответствует эластичная мембрана, образующая перегородку в заполненной жидкостью камере. Когда открывается кран (пробка), жидкость накачивается с одной стороны камеры в другую. Под действием давления, производимого насосом, мембрана деформируется. Жидкость продолжает течь до тех пор, пока из-за своей эластичности мембрана не станет производить равное и противоположное по направлению давление; тогда жидкость прекращает течь и камера полностью заполнена.

Рис.8. Сопротивления, включенные параллельно (А) и последовательно (В).

Если параллельно поместить трубу так, как показано на рис. 7D, часть жидкости протекает по этой трубе, а часть идет на расширение мембраны. Степень расширения зависит от сопротивления трубы, а также от емкости камеры. Если сопротивление трубы высокое, тогда для определенного потока разность давлений на ее концах будет относительно большой. В таком случае мембрана будет растягиваться сильнее и растяжение займет больше времени. Аналогично, если емкость камеры больше, больше жидкости потребуется для ее заполнения (или «зарядки») и понадобится больше времени для того, чтобы достичь устойчивого состояния. Поэтому типичная константа времени системы определяется произведением сопротивления и емкости.

Если конденсаторы соединены параллельно, как показано на рис. 8А, общая емкость увеличивается. Общий заряд конденсатора является суммой единичных зарядов, находящихся в каждом конденсаторе:

или

где С_общ = С₁ + С₂. Напротив, при последовательном соединении конденсаторов емкость уменьшается (рис. 8В). Уравнение оказывается таким же, как и в сопротивлениях, соединенных параллельно. Итак, для n (количества) конденсаторов, соединенных параллельно,

а для соединенных последовательно:

Литература

1. Haque, N.S., Borghesam, P., and Isacson, О. 1997. Mol. Med. Today 3: 175-183.

2. Burgess, D. L., and Noebe/s, J. L. 1999. Ann. N. Y.Acad. Sci. 868: 199-212.

3. Adrian, E. D. 1946. The Physical Background of Perception. Clarendon, Oxford, England.