Возмущение в отсутствие вырождения
12 Постановка вопроса Лишь в очень немногих случаях задачу о нахождении квантовых уровней системы (т.е. о нахождении собственных значений и собственных функций оператора энергии Н) удается разрешить с помощью изученных в математике функций. В большинстве проблем атомной механики таких простых решений не существует. Поэтому очень важен весьма обширный класс случаев, когда рассматриваемая задача может быть приближенно сведена к задаче, относящейся к более простой системе, для которой собственные значения Е ° и собственные функции j° известны. Такая возможность представляется тогда, когда оператор энергии Н рассматриваемой системы мало отличается от оператора Н ° более простой системы. Точное значение слов "операторы мало отличаются" выяснится из дальнейшего. Сейчас мы укажем те случаи, которые относятся к кругу задач, могущих быть решенными приближенно. Допустим, что нам известны волновые функции и квантовые уровни электронов, движущихся в атоме. Нас интересует, как изменятся квантовые уровни и волновые функции, если атом поместить во внешнее электрическое или магнитное поле. Достигаемые на опыте поля обычно малы в сравнении с внутриатомным кулоновским полем[1]. Действие внешнего поля можно рассматривать как малую поправку или, как мы будет говорить, возмущение (этот термин заимствован из небесной механики и применялся первоначально для обозначения влияния одной планеты на орбиту другой). Таким же путем могут быть учтены слабые взаимодействия электронов внутри атомов, например, магнитные, а в иных случаях даже и кулоновские. Общие методы решения подобных задач и составляют предмет теории возмущений. Мы ограничимся пока рассмотрением таких случаев, когда оператор энергии Н обладает дискретным спектром. Пусть данный нам гамильтониан Н равен Н = Н ° + W . (66.1) Добавок W будем рассматривать как малый и будем называть энергией возмущения (или иногда кратко ¾ возмущением). Далее, мы предполагаем, что собственные значения Е ° оператора Н ° и его собственные функции j° известны, так что Н ° j ° = Е ° j ° . (66.2) Наша задача заключается в нахождении собственных значений Е оператора Н и его собственных функций. Эта задача, как мы знаем, сводится к решению уравнения Шредингера Н j = Е j . (66.3) Уравнение (66.3) отличается от уравнения (66.2).одним членом W j, который мы считаем малым. Для приближенного решения задачи методом теории возмущений пишут прежде всего уравнения (66.3) в таком представлении, в котором за основную переменную берут собственные значения Е ° оператора Н , т.е. уравнение (66.2) берут в "Е ° "-представлении. Если первоначально оператор Н (66.1) и вместе с тем уравнение (66.3) даны, как это чаще всего и будет, в координатном представлении, но нужно от этого представления перейти к "Е ° "-представлению. Напомним этот переход. Будем всюду явно писать только одну координату х (в случае надобности под х можно разуметь любое число переменных так же, как и под значком n у волновой функции j можно разуметь ряд квантовых чисел). Пусть в координатном представлении ("х-представление) собственные функции оператора Н ° будут j° (х). Разложим искомую функцию j (х) по функциям j° (х): j (х) = Sс j° (х). (66.4) Тогда совокупность всех с есть не что иное, как функция j в "Е ° "-представлении. Подставляя (66.4) в уравнение (66.3), умножая его на j° * (х) и интегрируя по х, получим S Н с = Ес , (66.5) Н = Ij° * Hj° dx . (66.6) H = Ij° * ( H ° + W ) j° dx = = Ij° * H ° j° dx + Ij° * W j° dx = E ° d + W (66.6') (66.7) Матрица, образованная из элементов W , есть оператор W в этом же представлении. Подставляя (66.6') в (66.5), получим (66.8) (66.9) Пока мы никак не использовали предположение о малости W, и уравнение (66.9) справедливо точно. Задача теории возмущения заключается в том, чтобы использовать предположение о малости величин W . Чтобы явно выразить степень малости W, положим (66.10) (66.11) (66.12) (66.13) При малых значениях l естественно ожидать, что решения уравнений (66.11) будут близки к решениям уравнений (66.12), т.е. к (66.13). Это предположение мы может выразить явно, если представим собственные функции с уравнения (66.11) и его собственные значения Е в виде рядов по степеням малого параметра l: (66.14) (66.15) Возмущение в отсутствие вырождения
Пусть каждому собственному значению Е невозмущенного уравнения (66.2) принадлежит лишь одна собственная функция j , соответственно ¾ одна амплитуда с . Подставим в уравнение (66.11) ряда (66.14) и (66.15) и соберем члены с одинаковыми степенями параметра l
(67.1) m = 1,2,3,…, k , … (67.2) (67.3) Решение (67.3) мы будем называть решением в нулевом приближении. Это решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тем, чтобы найти следующее, первое приближение. Подстановка дает
(67.4)
(67.4') (67.4'') (67.5) (67.4''') (67.6)
(67.7) (67.7') (67.8)
(67.9) Эту процедуру можно продолжать и дальше, переходя ко все более и более высоким приближениям. Мы ограничимся вторым приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15) и (67.3), (67.5), (67.6), (67.8) и (67.9) имеем (67.10)
(67.11) Из этих формул видно, что предположение о малости оператора W в сравнении с Н означает малость отношения
(67.12) (67.13) Пользуясь (66.4) и (67.6), а также (67.5), мы можем написать наше решение в "х"-представлении: (67.14)
(67.15) Из условия пригодности метода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенного расчета зависит от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем. Так, например, в кулоновском поле разности энергий соседних уровней выражаются формулой
Второе, что следует отметить, ¾ это некоторые особые случаи, когда условие (67.13) соблюдено и тем не менее квантовые состояния систем H и H радикально отличаются. Дело в том, что энергия возмущения W может оказаться такого вида, что существенно изменит асимптотическое поведение потенциальной энергии U ( x ). Допустим, что к гармоническому осциллятору приложено возмущение W = l x . Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
(67.16) При l=0 мы имеем уравнение для гармонического осциллятора, имеющего дискретный спектр энергии E = ( n + ). Матричные элементы возмущения W = l ( x ) Спрашивается, какой смысл имеют в этом случае приближенные функции j ( x ) и уровни Е , которые мы может вычислить из j и Е методом теории возмущения, пользуясь малостью параметра l? Оказывается, что при малых l найденные методом теории возмущения функции
12
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (219)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |