NIL, NULL и маленькие хитрости

Нередко алгоритмы, просто выглядящие на бумаге, становятся нагромождением сплошных конструкций if в реальной программе. Почему? Ответ очевиден: многие алгоритмы для работы с деревьями предполагают, что (NIL).parent == (NIL).left == (NIL).right == NIL. Вроде всё ясно и даже логично, но ведь во многих языках программирования NIL/NULL – это ноль. А обращение по нулевому адресу памяти чревато нехорошими вещами. Что же делать? Ведь мало того, что все эти if тормозят программу, в них легко запутаться! Решение просто: мы не будем использовать NIL! Действительно, алгоритмам совершенно всё равно, какое численное значение имеет NIL, главное, чтобы адрес любой реальной вершины в дереве не был ему равен. Поэтому вместо NIL мы будем использовать адрес переменной, проинициализированной особым образом. Я покажу это на языке С++, но думаю, этот пример можно будет перевести и на другие языки, хотя там, скорее всего, нет шаблонов, и придется пожертвовать типобезопасностью.

Теперь везде в классе CTree можно использовать переменную treeNil. Преимущества очевидны. Потратив каких-то двенадцать (3 * sizeof(CTree *)) байт памяти, мы упростили разработку и ускорили выполнение программы.

Основная проблема использования ДДП

Основной проблемой использования ДДП является то, что методы вставки и удаления вершин, гарантируя сохранение свойства упорядоченности, совершенно не способствуют оптимизации основных операций над ДДП. Например, если вставить в ДДП последовательность возрастающих или убывающих чисел, оно превратится, по сути, в двусвязный список, а основные операции будут занимать время, пропорциональное количеству вершин, а не его логарифму.

Таким образом, для получения производительности порядка O(log2N) нужно, чтобы дерево имело как можно более высокую сбалансированность (то есть имело возможно меньшую высоту). Обычно выделяются несколько типов сбалансированности. Полная сбалансированность, это когда для каждой вершины дерева количества вершин в левом и правом поддеревьях различаются не более чем на 1. К сожалению, такой сбалансированности трудно добиться на практике. Поэтому на практике используются менее жесткие виды сбалансированности. Например, русскими математиками Г. М. Адельсон-Вельским и Е.М.Ландисом были разработаны принципы АВЛ деревьев. В АВЛ деревьях для каждой вершины дерева глубины обоих поддеревьев различаются не более чем на 1. Еще одним “продвинутым” видом деревьев является так называемые красно-чёрные деревья. АВЛ деревья обеспечивают более высокую сбалансированность дерева, но затраты на их поддержание выше. Поскольку на практике разница в сбалансированности между этими двумя видами деревьев не высока, чаще используются красно-чёрные деревья.

Красно - чёрные деревья (Red-Black Tree, RB-Tree)

Итак, одним из способов решения основной проблемы использования ДДП являются красно-чёрные деревья. Красно-чёрные (название исторически связано с игральными картами, поскольку из них легко делать простые модели) деревья (КЧД) – это ДДП, каждая вершина которых хранит ещё одно дополнительное логическое поле (color), обозначающее цвет: красный или чёрный. Фактически, в КЧД гарантируется, что уровни любых двух листьев отличаются не более, чем в два раза. Этого условия оказывается достаточно, чтобы обеспечить скоростные характеристики поиска, близкие к O(log2N). При вставке/замене производятся дополнительные действия по балансировке дерева, которые не могут не замедлить работу с деревом. При описании алгоритмов мы будем считать, что NIL – это указатель на фиктивную вершину, и операции (NIL).left, (NIL).right, (NIL).color имеют смысл. Мы также будем полагать, что каждая вершина имеет двух потомков, и лишь NIL не имеет потомков. Таким образом, каждая вершина становится внутренней (имеющей потомков, пусть и фиктивных), а листьями будут лишь фиктивные вершины NIL.

Свойства КЧД

Каждая вершина может быть либо красной, либо чёрной. Бесцветных вершин, или вершин другого цвета быть не может.

Каждый лист (NIL) имеет чёрный цвет.

Если вершина красная, то оба её потомка – чёрные.

Все пути от корня к листьям содержат одинаковое число чёрных вершин.

Пример КЧД с учётом наших положений приведен на рисунке 4. Учтите, что вершина 9 могла быть и красной, но в дальнейшем мы будем рассматривать только те деревья, у которых корень чёрный. Мы это сделаем для того, чтобы потомки корня могли иметь любой цвет.

Рисунок 4.

Вращения

Операции вставки и удаления вершин в КЧД могут нарушать свойства КЧД. Чтобы восстановить эти свойства, надо будет перекрашивать некоторые вершины и менять структуру дерева. Для изменения структуры используются операции, называемые вращением. Возвращая КЧД его свойства, вращения так же восстанавливают сбалансированность дерева. Вращения бывают левые и правые, их суть показана на рисунке 5.

Рисунок 5.

Как видно, вращения, перемещая вершины, не нарушают свойства упорядоченности.

В процедуре RBTLeftRotate предполагается, что node.right != NIL. В процедуре RBTRightRotate предполагается, что node.left != NIL.

Добавление вершины в КЧД

Чтобы добавить вершину в КЧД, мы применяем процедуру TreeInsert для ДДП, красим вершину в красный цвет, а затем восстанавливаем свойства КЧД. Для этого мы перекрашиваем некоторые вершины и производим вращения.

Функция RBTInsert не так сложна, как кажется на первый взгляд. Рассмотрим её подробнее. После строк 3-4 выполняются все свойства КЧД, кроме, возможно, одного: у новой красной вершины может быть красный родитель. Такая ситуация (красная вершина имеет красного родителя) может сохраниться после любого числа итераций цикла. Внутри цикла рассматриваются 6 различных случаев, но три из них (строки 8-28) симметричны трём другим (строки 30-50), различие лишь в том, является ли родитель вершины node правым или левым потомком своего родителя (случаи разделяются в строке 7). Поэтому мы рассмотрим подробно только первые три случая (строки 8-28). Предположим, что во всех рассматриваемых КЧД корень чёрный, и будем поддерживать это свойство (строка 52). Поэтому в строке 5 node.nodeParent (красного цвета) не может быть корнем, и node.nodeParent.nodeParent != NIL. Операции внутри цикла начинаются с нахождения nodeTemp, “дяди” node, то есть вершины, имеющей того же родителя, что и node.nodeParent. Если nodeTemp – красная вершина, то имеет место случай 1, если черная, то 2 или 3. Во всех случаях вершина node.nodeParent.nodeParent – чёрная, так как пара node, node.nodeParent была единственным нарушением свойств КЧД.

Случай 1 (строки 12-15 и 34-37) показан на рисунке 6. Является ли вершина node правым или левым потомком своего родителя, значения не имеет.

Рисунок 6.

Обе вершины (node и nodeTemp) – красные, а вершина node.nodeParent.nodeParent – чёрная. Перекрасим node.nodeParent и nodeTemp в чёрный цвет, а node.nodeParent.nodeParent – в красный. При этом число чёрных вершин на любом пути от корня к листьям остаётся прежним. Нарушение свойств КЧД возможно лишь в одном месте: вершина node.nodeParent.nodeParent может иметь красного родителя, поэтому надо продолжить выполнение цикла, присвоив node значение node.nodeParent.nodeParent.

В случаях 2 и 3 вершина nodeTemp – чёрная. Различаются случаи, когда вершина node является правым или левым потомком своего родителя. Если правым, то это случай 2 (строки 20-23 и 41-45). В этом случае производится левое вращение, которое сводит случай 2 к случаю 3, когда node является левым потомком своего родителя. Так как node и node.nodeParent – красные, после вращения количество чёрных вершин на путях от корня к листьям остается прежним.

Рисунок 7.

Осталось рассмотреть случай 3: красная вершина node является левым потомком красной вершины node.nodeParent, которая, в свою очередь, является левым потомком node.nodeParent.nodeParent, правым потомком которой является nodeTemp. В этом случае достаточно произвести правое вращение и перекрасить две вершины. Цикл окончится, так как вершина node.nodeParent будет после этого чёрной.