Логнормальное распределение

Вероятностные распределения

Нормальное распределение

плотность нормального распределения записывается так:

где а и õ² — параметры закона, интерпретируемые соответственно как среднее значение и дисперсия данной случайной величины (ввиду особой роли нормального распределения мы будем использовать специальную символику для обозначения его функции плотности и функции распределения). Соответствующая функция распределения нормальной случайной величины (а,õ²) обозначается Ф(x; a,õ²) и задается соотношением:

Нормальный закон с параметрами а = 0 и õ² = 1 называется стандартным.

Равномерное распределение

Равномерное распределение полезно при описании переменных, у которых каждое значение равновероятно, иными словами, значения переменной равномерно распределены в некоторой области.

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке , где , если её плотность имеет вид:

Числовые характеристики равномерного закона:

Экспоненциальное распределение

Имеют место события, которые на обыденном языке можно назвать редкими. Если Т — время между наступлениями редких событий, происходящих в среднем с интенсивностью X, то величина
T имеет экспоненциальное распределение с параметром (лямбда). Экспоненциальное распределение часто используется для описания интервалов между последовательными случайными событиями, например, интервалов между заходами на непопулярный сайт, так как эти посещения являются редкими событиями. Плотность экспоненциального распределения описывается формулой:

Это распределение имеет только один параметр, который и определяет его характеристики.

Основные числовые характеристики экспоненциального распределения:

Распределение Эрланга

Это непрерывное распределение сосредоточено на (0,1) и имеет плотность:

Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно

Распределение Эрланга с параметрами µ и n является распределением суммы n независимых, одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром nµ

При n = 1 распределение Эрланга совпадает с показательным или экспоненциальным распределением.

Распределение Лапласа

Функция плотности распределения Лапласа, или, как его еще называют, двойного экспоненциального, используется, например, для описания распределения ошибок в моделях регрессии. Если параметр положения равен 0, то функция плотности распределения Лапласа имеет вид:

Основные числовые характеристики этого закона распределения в предположении, что параметр положения нулевой, выглядят следующим образом:

В общем случае плотность распределения Лапласа имеет вид:

где

а — среднее распределения; b — параметр масштаба; е — число Эйлера (2,71...).

Гамма-распределение

Плотность экспоненциального распределения имеет моду в точке 0, и это иногда неудобно для практических применений. Во многих примерах заранее известно, что мода рассматриваемой случайной переменной не равна 0, например, интервалы между приходами покупателей в магазин электронной торговли или заходами на сайт имеют ярко выраженную моду. Для моделирования таких событий используется гамма-распределение.

Плотность гамма-распределения имеет вид:

где Г — Г-функция Эйлера, а > 0 — параметр «формы» и b > 0 — параметр масштаба.

В частном случае имеем распределение Эрланга и экспоненциальное распределение.

Основные характеристики гамма-распределения:

Логнормальное распределение

Случайная величина h называется логарифмически нормальной, или логнормальной, если ее натуральный логарифм (lnh) подчинен нормальному закону распределения.

Логнормальное распределение используется, например, при моделировании таких переменных, как доходы, возраст новобрачных или допустимое отклонение от стандарта вредных веществ в продуктах питания.

Итак, если величина x имеет нормальное распределение, то величина у = е^x имеет Логнормальное распределение.

Плотность логнормального распределения имеет вид:

Основные характеристики логарифмически нормального распределения: