Множественный корреляционно-регрессионный анализ себестоимости прироста КРС

В многофакторных моделях результативный признак зависит от нескольких факторов. Множественный или многофакторный корреляционно-регрессионный анализ решает три задачи: определяет форму связи результативного признака факторами, выявляет тесноту этой связи и устанавливает влияние отдельных факторов.

 

Таблица 2.5.1 Исходные данные для корреляционно - регрессионного анализа

 

Наименование хоз-ва	Себестоимость 1 ц прироста	Доля затрат на корма	Кол-во посевов на 1 гол. Скота
	Y	X1	X2
3	8954,75	785	25
5	4683,33	162	7,89855072
6	4921,16	286	16,1788618
7	4860,16	817	5,99824869
8	5489,6	6412	12,3028455
9	8496,67	1810	48,6786704
11	4246,49	4100	2,87833511
итого	41652,16	14372	118,935512

 

Оценка параметров с помощью метода определителей:

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии.

Так, для уравнения  система нормальных уравнений составит:

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии построим с помощью MS Excel вспомогательную таблицу 2.5.1

 

Таблица  2.5.1 Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения множественной регрессии

№
1	785	25	8954,75	616225	19625	625
2	162	7,89	4683,33	26244	1279,565	62,3871
3	286	16,17	4921,16	81796	4627,154	261,755
4	817	5,99	4860,16	667489	4900,569	35,978
5	6412	12,30	5489,6	41113744	78885,84	151,360
6	1810	48,67	8496,67	3276100	88108,39	2369,612
7	4100	2,87	4246,49	16810000	11801,17	8,2848
итого	14372	118,93	41652,1	62591598	209227,7	3514,379
	2053,142	16,990	5950,30	8941656,8	29889,67	502,054

 

Продолжение таблицы 2.5.1

№
1	7029478,7	223868,75	80187547,56
2	758699,46	36991,51957	21933579,89
3	1407451,7	79618,76748	24217815,75
4	3970750,7	29152,44834	23621155,23
5	35199315,	67537,70081	30135708,16
6	15378972,7	413606,5981	72193401,09
7	17410609	12222,82127	18032677,32
итого	81155277,6	862998,6056	270321885
	123285,5151	38617412,14	11593611,1

 

На основе расчетов, представленных в таблице, получили следующую систему:

                                     (1.1)

Решаем систему с помощью метода определителей. При этом:

   

                                   (1.2)

где − определитель системы;

− частные определители.

Определитель системы имеет вид:

                                                             (1.3)                   

 

Частные определители  получаем путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы. Например, для параметра а:

 

                                                                         (1.4)

 

В результате расчета определителей получили следующие значения:

∆=345493513757;

   

 

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

=4238.908 -0.027х₁+ 104.979х₂.

Таким образом, при увеличении себестоимости 1 ц прироста КРС,  то доля затрат на корма  снизится на 27000 руб., а при увеличении количества посевных на 1 голову скота , увеличится на 104,9079 рублей.

Построение уравнения регрессии в стандартизованном масштабе:

Параметры множественной регрессии можно определить другим способом, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

,

где t – стандартизованные переменные, для которых среднее значение равно 0, а среднее квадратическое отклонение равно 1;

  β – стандартизованные коэффициенты регрессии.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений вида:

 

 

где r _ух1, r _ух2 – парные коэффициенты корреляции.

Парные коэффициенты корреляции найдем по формулам:

 

,

,

 

 

.

 Система уравнений имеет вид:  

 

Решив систему методом определителей, получили формулы:

         (1.13)                                                

Уравнение в стандартизированном масштабе имеет вид:

                 (1.14)

Таким образом, с ростом себестоимости 1 ц прироста КРС на 1 сигму при неизменном уровне доли затрат на корма, количество посевов на 1 голову скота  уменьшится  на 0,02734 сигмы; а с увеличением себестоимости 1 ц прироста на 1 сигму при неизменной количестве посевных площадей на 1 голову скота ,то тогда возрастет на 0,8434 сигм.

Во множественной регрессии коэффициенты «чистой» регрессии b_i связаны со стандартизованными коэффициентами регрессии β _i следующим образом:

                                                         .                                         (1.15)

 

Построение частных уравнений регрессии:

Частные уравнения регрессии связывают результативный признак с соответствующими факторами х при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. Частные уравнения имеют вид:

                                  (1.16)

.                                  (1.17)

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, т.к. другие факторы закреплены на неизменном уровне.

В данной задаче частные уравнения имеют вид:

 

 

Определение частных коэффициентов эластичности:

На основе частных уравнений регрессии можно определить частные коэффициенты эластичности для каждого региона по формуле:

 

                                    (1.18)

где b_i – коэффициенты регрессии для фактора х _i в уравнении множественной регрессии;

 частное уравнение регрессии.

Рассчитаем частные коэффициенты эластичности для некоторых  хозяйств по отдельности.

Для  хозяйства № 3 х₁=785, х₂=25, тогда:

-0,03

0,385

 

Для  хозяйства № 6 х₁ =286, х₂=16,178:

-0,001

0,288

Таким образом в хозяйстве № 3 при увеличении доли затрат на корма на 1%, себестоимость 1 ц прироста КРС сократится на 0,03%, а при увеличении количества посевов на 1 голову скота, себестоимость 1 ц прироста КРС возрастет на 0,385%. В хозяйстве №6 при увеличении доли затрат на корма на 1%, себестоимость 1 ц прироста КРС уменьшится на 0,001%, а при увеличении количества посевов на 1 голову скота на 1%, себестоимость 1 ц прироста КРС увеличится на 0,288%.

Определение средних коэффициентов эластичности:

Средние по совокупности показатели эластичности находим по формуле:

                                                                               (1.19)

Для данной задачи они окажутся равными:

Таким образом, с ростом доли затрат на корма на 1%, размер себестоимости 1 ц прироста КРС  по совокупности сократится  на 0,93% при неизменном количестве посевов на 1 голову скота. При увеличении количества посевов на 1 голову скота  на 1%, себестоимость 1 ц прироста КРС в среднем по изучаемой совокупности возрастет  на 36,20% при неизменной доли затрат на корма.

Коэффициент множественной корреляции

Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – коэффициента детерминации. Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, т.е. оценивает тесноту связи совместного влияния факторов на результат.

Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции. При линейной зависимости признаков формула индекса корреляции может быть представлена следующим выражением:

 

                                      (1.20)

где β _xi – стандартизованные коэффициенты регрессии;

     r_yxi – парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

 

R_yx1x2 = .

Таким образом, связь выручки от реализации зерновых культур с урожайностью и среднегодовой численностью работников слабая или отсутствует совсем.

Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множественной корреляции или совокупного коэффициента корреляции.

Определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции

При линейной зависимости совокупный коэффициент корреляции можно также определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,                              (1.21)

где ∆r – определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

∆r₁₁ – определитель матрицы межфакторной корреляции.

Для уравнения  определитель матрицы коэффициентов парной корреляции принимает вид:

                                      (3.3)

 

Определитель более низкого порядка ∆ r ₁₁ остается, когда вычеркиваются из матрицы коэффициентов парной корреляции первый столбец и первая строка, что соответствует матрице коэффициентов парной корреляции между факторами:

.                                           (1.22)

 

В данной задаче ∆r =0,2741, ∆r₁₁= 0,9753.

Тогда

 

Частные коэффициенты корреляции:

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в модель. Формула коэффициента частной корреляции, выраженная через показатель детерминации, для х₁ принимает вид:

 

, (1.23)

(1.24)

 

Таким образом, при закреплении фактора х₂ на постоянном уровне (элиминировании) корреляция у и х₁ равна -0,05, то есть связь слабая или отсутствует вообще. При закреплении фактора х₁ на постоянном уровне корреляция у и х₂ равна 0,0843, то есть связь прямая слабая или отсутствует вообще. 

Оценка значимости уравнения с помощью F-критерия Фишера;

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, оценивается с помощью F-критерия Фишера по формуле:

 

                                   (1.25)

где R ² – коэффициент множественной детерминации;

    n – число наблюдений;

   m – число параметров при переменных х (в линейной регрессии 

          совпадет с числом включенных в модель факторов).

При этом выдвигается гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

 F _табл. =2,3646 (при k₁=m=2 и k₂=n-m-1=7-2-1=4).

Так как F _факт. < F _табл, то гипотезу (Н₀) принимаем. С вероятностью 95% делаем вывод о статистической не значимости и не надежности уравнения в целом и показателя тесноты связи, которые сформировались под неслучайным воздействием факторов х_1, х₂.

Расчет частных F-критериев

Частные F-критерии оценивают статистическую значимость присутствия факторов х₁ и х₂ в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. F _х1 оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х₁ после того, как в него был включен фактор х₂. Соответственно, F_{x 2} указывает на целесообразность включения в модель фактора х₂ после фактора х₁. Определим частные F-критерии для факторов х₁ и х₂ по формулам:

        (1.26)

 

      (1.27)

 

F _табл. = 2,3646.

Таким образом, низкое значение F _х1факт. свидетельствует о нецелесообразности включения в модель фактора х₁ (доля затрат на корма). Включение фактора х₂ в модель статистически так же нецелесообразно. Это означает, что множественная регрессионная модель зависимости себестоимости 1 ц прироста КРС от доли затрат на корма и от количества посевов на 1 голову скота, является достаточно статистически незначимой, ненадежной.

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по t-критерию Стьюдента:

Частный F-критерий оценивает значимость коэффициентов чистой регрессии:

                      .                             (1.28)

,

t _табл.=2,3646.

Так как t_{b 1,} t_{b 2} < t _табл., то фактор х₁ статистически незначим.

Для уверенности в правильных результатов множественной корреляционной регрессии, проверим результаты с помощью программы Excel.

Зададим исходные данные y,x1,x2. С помощью Данные /Анализ Данных/Регрессия, получим результат:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,847971077
R-квадрат	0,719054948
Нормированный R-квадрат	0,578582422
Стандартная ошибка	1256,510447
Наблюдения	7

 

Дисперсионный анализ
		df	SS		MS		F		Значимость F
Регрессия		2	16163406,31		8081703,154		5,118829766		0,078930122
Остаток		4	6315274,017		1578818,504
Итого		6	22478680,33
	Коэффициенты			Стандартная ошибка		t-статистика		P-Значение
Y-пересечение	4238,908859			908,0965314		4,667905572		0,009533185
Переменная X 1	-0,022536586			0,221206555		-0,101880282		0,92375457
Переменная X 2	103,4484451			32,92250539		3,142180216		0,034774657

 

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки
1	6807,428766	2147,321234	2,093035258
2	5052,350723	-369,0207231	-0,359691588
3	5906,141491	-984,9814909	-0,960080381
4	4841,005968	19,15403188	0,018669803
5	5367,114508	122,4854916	0,119388962
6	9233,850396	-737,1803958	-0,718543894
7	4444,268147	-197,7781475	-0,19277816

 

Из выше изложенных данных можно сделать вывод, что расчеты были проведены верно и  модель статистически не значима.

 

2.6Статистический анализ показателей реализации прироста КРС и прибыли

Одним из основных показателей эффективности деятельности с/х предприятий является прибыль.

С помощью индексного метода можно проанализировать изменение прибыли за счет изменения объема реализованной продукции, в нашем случае продукцией является молоко, можно проанализировать изменение прибыли за счет изменения цены реализации и за счет изменения полной себестоимости производства и реализации продукции.

Рассчитаем индексы по двум группам, второй  и третьей группы , используя вспомогательную таблицу 2.6.1

 

 

Таблица 2.6.1 Данные для расчета индексов прибыли

объем реализации продукции		цена реализации (тыс.руб)		с/с 1 ц прироста (тыс.руб)		Выручка,тыс.руб		с/с реализ продук
2 гр	3 гр	2 гр	3 гр	2 гр	3 гр	2 гр	3 гр	2 гр	3 гр
q0	q1	p0	p1	z0	z1	p0q0	p1q1	z0q0	z1q1
249	2173	5.3614	8,07731	4,24479	6,69075	1335	17552	1057	14539

  

Определим общий индекс прибыли:

 = 10,83

Прирост прибыли составит:

= 2735 тыс. руб.

Разложим общее изменение прибыли по факторам:

1)за счет изменения объема реализации:

 = 8.7269

В абсолютном выражении:

= 2148,08032 тыс.руб

2) за счет цены реализации:

 = 3.43

В абсолютном выражении:

= 5901,57831 тыс. руб.

3) за счет изменения полной себестоимости:

= 0.36

В абсолютном выражении:

= - 5314,6586 тыс.руб.

Правильность расчетов можно проверить с помощью следующей взаимосвязи:

= 7,8697914 = 10.8381

= 2735 тыс. руб.

Результаты вычислений представим в виде таблицы 2.6.2

Таблица 2.6.2 Изменение прибыли от реализации зерна по факторам

Факторы прироста прибыли	Индекс изменения прибыли	Прирост прибыли		Относительный прирост прибыли за счет факторов, %
		Тыс.руб.	в % к итогу
Цена реализации	3,43	5901578,31	215,77	21,22
Себестоимость реализованной продукции	0,36	-5314658,6	-194,32	-19,117
Объем реализованной продукции	8,726	2148080,32	78,54	77,26
Итого	10,83	2735	100,0	79,36

Итак, проведя индексный анализ можно сделать следующие выводы. Масса прибыли в первой группе меньше чем в третьей на 2735 тыс.руб. Наибольшее влияние на прирост прибыли оказала цена реализации продукции.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

По проведенному статистическому анализу себестоимости молока по хозяйствам Чишминскому района.

Данные по хозяйствам были ранжированы и проанализированы, представим полученные выводы. Коэффициент вариации превышает допустимых пределов следовательно, выбранная совокупность не однородна. Вся совокупность была разделена на три группы, и далее для анализа две: лучшая, где средняя себестоимость ниже, чем в среднем, и худшая – где себестоимость выше.

В 1й группе затраты на оплату труда ниже, чем в 3й. Анализ коэффициентов показывает, что связь между себестоимостью и долей затрат на корма обратная и слабая (r_yx1=-0,15997), связь между себестоимостью и количеством посевов на 1 голову прямая и высока  (r_yx2= 0,84).

Можно сказать, что одним из важнейших резервов повышения доходности производства и реализации продукции животноводства является снижение себестоимости. Но также немаловажным фактором является цена реализации, но здесь ведущую роль играет состояние рынка. Поэтому важно найти выгодные каналы реализации.