При эксплуатации водозабора в речной долине

Случай плановой фильтрации в безнапорном, однородном и изотропном пласте постоянной мощности без учета инфильтрации можно описать следующим выражением

⁼ , (2.39)

где а - коэффициент уровнепроводности, который в данном случае может быть выражен в виде:

а =

Используем метод конечных разностей, заменим соответствующие производные их разностными аналогами.

Первую производную можно заменить

, (2.40)

где Δx – шаг по оси X, а вторую производную выражением

. (2.41)

Для удобства примем следующую индексацию узлов:

по Х – i = 1,…,7;

по Y – j = 1,…,9,

по Времени – t = 1,…,T,

где Т - время прогноза.

Получим

= а (2.42)

Обратим внимание на то, что шаг по X равен шагу по Y, поэтому у второй производной по Y стоит в знаменателе Δx², вместо Δy²

Перенесем Δt и вправо, а также вынесем Δ x² за скобки, получим

= (2.43

Следует определить критерий устойчивости явной разностной схемы , который должен быть меньше или равен ,т.е.

. (2.44)

В случае его несоответствия следует изменить шаг по времени или по пространственным координатам.

Для однозначного решения дифференциальных уравнений геофильтрации необходимо задание краевых условий - начальные значения искомой функции и значения функции на границах. Так как в наших задачах искомой функцией является функция напора Н, то краевые условия записываются для функции Н или ее производных.

Краевые условия задаются для конкретной области фильтрации - участка земной коры, приуроченного к водоносному горизонту (комплексу) и оконтуренного некоторыми гидродинамическими границами и рассматривается в задаче как единая, гидравлически связанная система. Краевые условия делятся на начальные и граничные.

Начальные условия - исходные значения функции напора в пределах области фильтрации на начальный момент времени. Начальные условия должны быть заданы , для процессов нестационарной геофильтрации, (обычно по результатам измерения напоров в наблюдательных скважинах и их интерполяции) во всех точках области фильтрации в виде

Н(x,y,z,t) I_t=0 º Н(x,y,z,0). (2.45)

Граничные условия задаются для всех граничных точек области фильтрации (x_г, y_г, z_г) на весь период рассматриваемый при решении данной задачи. Для этого анализируются орогидрографические, гидрогеологические условия, а также учитываются данные опытно-фильтрационных работ и режимных наблюдений. В гидрогеологическом отношении выделяют закрытые границы (угленосная мульда, перекрытая сверху и снизу водоупорными породами). На таких границах фиксируется нулевое значение скорости фильтрации V_n по направлению, перпендикулярному к границе, т.е.

= 0

и закрытая граница является линией тока.

При работе инфильтрационного водозабора (речная вода фильтруется через пески) его расходы обычно пренебрежимо малы в сравнении с расходами реки. Поэтому можно предположить, что уровни в реке могут задаваться только исходя из наблюдаемого гидрологического режима реки:

H_г = f (x_г, y_г, z_г, t).

Границу такого рода называют границей обеспеченного питания (контур дна реки).

В плане обычно выделяют полуограниченные и неограниченные области фильтрации, когда, говоря формальным математическим языком одна или все границы удалены в бесконечность.

В математической физике граничные условия подразделяются на граничные условия I , II, III и IY рода.

1. Граничные условия I рода. На границах задано значение напора. Такие условия характерны для:

· рек, водоемов и других границ обеспеченного питания (граница обеспеченного питания когда расход водозабора, расположенного в долине реки пренебрежительно мал по сравнению с расходами реки);

· - естественных контуров стока, приуроченных к нижнему водоупору водоносного пласта;

· - горных выработок, отметка выхода воды в которых также определяется отметкой нижнего водоупора;

· - скважин, работающих с заданным на них напором (самоизливающих, поглощающих).

Частным случаем границ I рода являются границы с постоянным напором, т.е. Н = const.

2. Граничные условия II рода. На границах задано значение расхода Q или нормальной производной _. Такие условия характерны для

n закрытых границ ( когда пласт ограничен водоупорными породами);

n границ свободного инфильтрационного питания;

n скважин, работающих с заданным расходом.

3. Граничные условия III рода. На границах задана прямопропорциональная зависимость между расходом и напором, точнее между искомой функцией и ее нормальной производной

= a H _г + b, (2.46)

где a и b - заданные постоянные. Так как значения H _г и заранее не известны, то условие (2.23) является нелинейным. Условия третьего рода наиболее характерны для контактов водоносного пласта с относительным водоупором, через который идет перетекание или переток воды из открытого водоема, когда роль относительного водоупора играет тонкий слой (мощностью m_п) илистых отложений с коэффициентом фильтрации k_п. Скорость перетекания, равная, по условию неразрывности, нормальной компоненте скорости фильтрации в водоносном пласте - на границе с относительным водоупоре, - выражается в виде

V_п = - k = k_Р , (2.47)

где

Н_Р - заданный напор в водоеме;

Н_{ПЛ -} неизвестный напор в пласте, непосредственно под слабопроницаемым слоем.

Согласно условию (2.46) a = k_Р /m_Р , b = - k_РН_Р /m_Р. Заметим, что граница водоема здесь не считается контуром обеспеченного питания и является.

4. Граничные условия IV рода. Границы представляет собой контакт водоносных пород с различными фильтрационными свойствами (граница раздела). Из условий неразрывности потока через эту границу получаем равенство скоростей фильтрации V_n1 иV_n2 нормальных ей, или, по закону Дарси

k₁ = k2 . (2.48)

Кроме того,

Н_г1 = Н_г2. (2.49)

Дано

Область фильтрации, которая представлена участком речной долины протяженностью 1600 м на 1200 м, разбита сеткой с равномерным шагом по X и по Y и равным 200 м. На безнапорный водоносный горизонт с гидродинамическими параметрами - К_ф и m согласно первой работы, m = 0.2. пробурена одна новая эксплуатационная скважина дебитом 150 м³/час.

Постановка задачи

В долине реки проектируется дополнительный водозабор. состоящий из одной совершенной эксплуатационной скважины диаметром 200 мм и с дебитом 150 м³/час. Необходимо вычислить значения функции напора во всех узлах сетки используя выражение (2.5) на двое суток с шагом 1 сутки. По результатам прогноза построить гидроизогипсы. Начальные условия соответствуют результатам лабораторной работы №1 (рис.3). Рассчитать два варианта с граничные условиями I рода, постоянные во времени, т.е. h = const. и с граничными условиями II рода с Q = KF = KFI = const. Шаг сетки - x = y = 200 м. Радиус влияния скважин 200 м. Проектируемые эксплуатационные скважины расположить вне зон взаимовлияния.

Выполнение

Начальные условия (рис.3) следует изменить с учетом ввода в эксплуатацию скважины. Для этого используем выражение

H_c = H₀ - , (2.50)

где:

Q – дебит скважины;

T – проводимость пласта = k_ф × m;

Ñ x – шаг сетки;

r_c – радиус скважины;

p - 3,14…

n – число сторон блока (сетки).

Скважины располагаются вблизи границ обеспеченного питания (границ водотоков), но не ближе двух узлов сетки от границы водотока, а также не ближе 400 м друг от друга (следует из условия радиуса влияния скважин 200 м). В нашем случае это точка с координатами (5,3). Напор в этой точке с учетом данных задачи составит (2.27)

H_5,3 = 100,5 - =

100,5-1,8(0,159*7,6-0,25) = 100,5-1,73 = 98,77 м

Прогноз развития процесса геофильтрации следует начинать с узла h_2,2 и используя выражение (2.20) идти по строке h_i,2. Затем перейти на строку h_i,3 и т.д. Начальными условиями для прогноза на 2-ые сутки будет прогноз на 1-е сутки. Вычисления аналогичны прогнозу на 1-ые сутки. Построение гидроизогипс производится согласно лабораторной работе №1 только на вторые сутки прогноза.