Уравнение приращений координат

Контрольная работа № 1

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И ПОСТРОЕНИЕ

ПЛАНА ТЕОДОЛИТНОЙ СЪЕМКИ

 

Задание

 

Цель работы – освоение методики обработки результатов полевых измерений и составление плана местности теодолитной съемки.

 

Исходные данные.

 

αА-I = 284°45,5¢; αIV-В = 75°15,5¢; xI = 6240,24м; yI = 4384,33м;

xIV = 6454,57 м; yIV = 4594,01 м.

 

Горизонтальные углы:

I = 100º01,0´; II = 162º17,3´; III = 81º15,3´; IV = 225º58,0´.

 

Ведомость измерения длин линий теодолитного хода

Линия	Длина линии	Угол наклона
I-II	120,65	2º50´
II-III	136,18	2º55´
50,41	6º20´
III-IV	104,12	2º45´
46,43	5º40´

 

Измеренные превышения между точками теодолитно-высотного хода

Линия	Превышение h, м
I-II	+4,80
II-III	-1,20
III-IV	-0,30

 

Вычисление координат вершин теодолитного хода.

 

Уравнение измеренных горизонтальных углов.

Для угловой невязки:

Fβ = ∑βизм - ∑βтеор (1)

где ∑βизм – сумма измеренных горизонтальных углов в ходе;

∑βтеор – теоретическое значение суммы измеренных горизонтальных углов в ходе.

 

Для разомкнутого теодолитного хода:

f βтеор = 180º * n + αнач - αкон (2)

где αнач – дирекционный угол начального направления;

αкон – дирекционный угол конечного направления;

n – число измеренных углов хода.

Тогда: fβ = ∑βизм - 180º * n + αнач - αкон. (3)

Таблица 1

Ведомость вычислений координат точек теодолитного хода

 

Номе ра точек

Углы

Длины сторон

Приращения координат

Координаты

Номе ра точек

Измерен ные

Исправ ленные

Дирек ционные

вычесленные

исправленные

x

y

Δx

Δy

Δx´

Δy´

А

А

-0,4´

284º45,5´

I

100º01,0´

100º00,6´

+0,02

+0,04

6240,24

4384,33

I

-0,4´

4º44,9´

120,50

+120,14

+10,00

+120,16

+10,04

II

162º17,3´

162º16,9´

+0,04

+0,07

6360,40

4394,37

II

-0,4´

22º28,0´

186,09

+171,95

+71,09

+171,99

+71,16

III

81º15,3´

81º14,9´

+0,03

+0,06

6532,39

4465,53

III

-0,4´

121º13,1´

150,20

-77,85

+128,42

-77,82

+128,48

IV

225º58,0´

225º57,6´

6454,57

4594,01

IV

75º15,8´

∑Δx= =+214,24

∑Δy= =+209,51

B

B

 

∑βизм = 569º31,6´ P = ∑d = 456,79м fx = 214,24 - (6454,57 -6240,24) = -0,09 м

fβ =∑βизм - 180º * n + (αкон +360 º - αнач) = fy = 209,51 - (4594,01 -4384,33) = -0,17 м

= 569º31,6´- 720º + 150 º 30´ = +1,60´ fабс = √(-0,09)² +(-0,17)² = 0,19 м

fβдоп = 1´√4 = 2,0´

fотн = 0,19/456,79 = 0,000416< ——

Полученную угловую невязку сравнивают с допустимой невязкой, вычисляемой по формуле:

fβдоп = 1´√n, (4)

где n – число измеренных углов хода.

В нашем случае fβ < fβдоп и вычисления можно продолжать.

Полученную невязку следует распределить между измеренными углами, вводя в них поправки. Угловая невязка распределяется поровну во все измеренные углы с противоположным знаком.

Соответственно поправка в измеренный угол будет определяться:

fβ

δβi = - — . (5)

n

В нашем примере:

δβi = -0,4´.

Для контроля определяем сумму поправок, которая должна равняться величине невязки с противоположным знаком

∑ δβi = - fβ. (6)

Контроль получается, переходим к вычислению исправленных горизонтальных углов

βi испр = βi изм + δβi. (7)

 

Вычисление дирекционных углов сторон теодолитного хода.

Значение дирекционного угла начального направления αА-I нам дано.

 

αА-I = 284º45,5´.

 

Дирекционные углы последующих сторон хода вычисляют по формуле:

αi = αi-1 + 180º - βi испр, (8)

где αi, αi-1 – дирекционные углы соответственно последующей и предыдущей сторон хода;

βi испр – соответствующий исправленный горизонтальный угол.

Тогда:

αI-II = αА-I + 180º - βI испр = 284º45,5´ - 180º - 100º00,6´ = 4º44,9´

αII-III = αI-II + 180º - βII испр = 4º44,9´ + 180º - 162º16,9´ = 22º28,0´

αIII-IV = αII-III + 180º - βIII испр = 22º28,0´ + 180º - 81º14,9´ = 121º13,1´

αIV-B = αIII-IV + 180º - βIV испр = 121º13,1´ + 180º - 225º57,3´ = 75º15,8´

 

Вычисление горизонтальных проложений сторон теодолитного хода.

Горизонтальные проложения линий находят по формуле:

d = L * cosv,

где L – измеренная на местности длина линии;

v – угол наклона линии.

Линия I-II:

dI-II = 120,65 * cos2º50´ = 120,50 м

Линия II-III:

d1 = 136,18 * cos2º55´ = 136,00 м

d2 = 50,41 * cos6º20´ = 50,09 м

dII-III = d1+ d2 = 186,09 м

 

Линия III-IV:

d1 = 104,12 * cos2º45´ = 104,00 м

d2 = 46,43 * cos5º40´ = 46,20 м

dIII-IV = d1+ d2 = 150,20 м

 

Вычисление горизонтальных проложений Таблица 2

Линия	Длина линии	Угол наклона	Горизонтальное проложение
I-II	120,65	2º50´	120,50
II-III	136,18 + 50,41 186,59	2º55´ 6º20´	136,00 + 50,09 186,09
III-IV	104,12 + 46,43 150,55	2º45´ 6º40´	104,00 + 46,20 150,20

 

Суммируя горизонтальные проложения всех сторон хода, находим длину хода (периметр) Р.

 

Вычисление приращений координат.

Приращения координат вычисляют по формулам:

Δx = d * cosα; Δy = d * sinα, (10)

где d – горизонтальное проложение стороны хода;

α – дирекционный угол стороны хода.

ΔxI-II = 120,50 * cos4º44,9´ = 120,14 м

ΔyI-II = 120,50 * sin4º44,9´ = 10,0 м

 

ΔxII-III = 186,09 * cos22º28,0´ = 171,95 м

ΔyII-III = 186,09 * sin22º28,0´ = 71,09 м

 

ΔxIII-IV = 150,20 * cos121º13,1´ = -77,85 м

ΔyIII-IV = 150,20 * sin 121º13,1´ = 128,42 м

Уравнение приращений координат.

Вычислив приращения координат, находим невязки по соответствующим осям:

fx = ∑ Δx - (xкон - xнач),

fy = ∑ Δy - (yкон - yнач), (11)

где ∑ Δx – сумма всех вычисленных приращений Δx;

∑ Δy - сумма всех вычисленных приращений Δy;

xнач, yнач – координаты начальной точки теодолитного хода (точка I);

xкон, yкон – координаты конечной точки теодолитного хода (точка IV).

 

fx = 214,24 - (6454,57 – 6240,24) = -0,09 м

fy = 209,51 - (4594,01 – 4384,33) = -0,17 м

 

Для определения допустимости указанных невязок вычисляем абсолютную невязку теодолитного хода по формуле:

fабс = √ fx² + fy² (12)

и относительную невязку по формуле:

fотн = fабс/Р, (13)

где Р – сумма длин сторон хода.

fабс = √(-0,09)² + (-0,17)² = 0,19 м

fотн=0,19/456,79= 0,000416< ——

Если относительная невязка не превышает 1:2000 (как в нашем случае), то невязки fx и fy следует распределить между приращениями координат, введя в них поправки. Невязки в координатах (fx, fy) распределяются в вычисленные приращения пропорционально длинам сторон хода с противоположным знаком. Поправки в приращения координат находят по формулам:

fx fy

δxi= - — *di; δyi=- — *di, (14)

Р Р

где di – соответствующие длины сторон хода;

Р – сумма длин сторон хода.

 

δxI-II = -(-0,09/456,79) * 120,50= +0,02 м

δyI-II = -(-0,17/456,79) * 120,50 = +0,04 м

 

δxII-III = -(-0,09/456,79) * 186,09 = +0,04 м

δyII-III = -(-0,17/456,79) * 186,09 = +0,07м

 

δxIII-IV = -(-0,09/456,79) * 150,20 = +0,03 м

δyIII-IV = -(-0,17/456,79) * 150,20 = +0,06м

 

Для контроля определяем суммы поправок δxi и δyi, которые должны равняться величинам невязок соответственно fx и fy, с противоположным знаком.

∑δxi = - fx; ∑δyi = - fy. (15)

Контроль получился, переходим к вычислению исправленных значений приращений координат:

Δxi´ = Δxi + δxi;

Δyi´ = Δyi + δyi. (16)

 

Вычисления координат.

Координаты точек теодолитного хода определяют по формулам:

xi = xi-1 + Δxi´; yi = yi-1 + Δyi´,

где xi, xi – координаты последующей точки теодолитного хода;

xi-1, yi-1 – координаты предыдущей точки;

Δxi´, Δyi´ - исправленные приращения координат.

 

xII = xI + Δx´I-II = 6240,24 +120,16 = 6360,40 м

yII = yI + Δy´I-II = 4384,33 + 10,04 = 4394,37 м

 

xIII = xII + Δx´II-III = 6360,40 + 171,99 = 6532,39 м

yIII = yII + Δy´II-III = 4394,37 + 71,16 = 4465,53 м

 

xIV = xIII + Δx´III-IV = 6532,39 + (-77,82) = 6454,57 м

yIV = yIII + Δy´III-IV = 4465,53 + 128,48 = 4594,01 м

4. Построение плана теодолитной съемки.