Активные RC-фильтры на основе ОУ
6.4.1. Общие положения Электрическими фильтрами являются частотно-избирательные цепи, спроектированные для «пропускания» или передачи сигналов в одной или более непрерывных частотных полосах и заграждения сигналов в дополняющих полосах. В зависимости от полосы частот пропускания фильтры классифицируются на: · фильтры нижних частот (ФНЧ); · фильтры верхних частот (ФВЧ); · полосовые или полосно-пропускающие фильтры (ПФ) (рис. 6.24); · частотно-выделяющие (или узкополосные) фильтры; · частотно-подавляющие (или заграждающие) фильтры (ЗФ).
Фильтры являются линейными устройствами, поскольку на их выходе не появляются новые спектральные составляющие. Традиционно описание фильтров производится в частотной области. Рассмотримфильтр НЧ.
АЧХ ФНЧ приведена на рис. 6.25, где: К (f) = 1 в полосе пропускания ЕП, 0 < ЕП < f П , К (f) = 1 в полосе задерживания ЕЗ, f З < ЕЗ < ∞, f П - верхняя граничная частота полосы пропускания ЕП, f З - нижняя граничная частота полосы задерживания ЕЗ . В интервале [f П , f З ] характер функции К (f) может быть различным. АЧХ фильтра (рис. 6.25) мало информативна для расчёта и детального анализа фильтра. Обычно используют график ЧХ затухания (рис. 6.26).
На рис. 6.26 (6.16) amin – минимально - допустимое затухание полосе задерживания ЕЗ ; δ – неравномерность затухания в полосе пропускания ЕП . На рис.27 даны примеры простейших схем ФНЧ.
У обеих схем крутизна спада АЧХ обратно пропорциональна частоте (p = jω), в логарифмическом масштабе спад АЧХ составляет 6 дБ на октаву (6 дБ/окт) или 20 дБ на декаду (20 дБ/дек); такие фильтры называют фильтрами первого порядка. Для схемы рис. 27,а . Для схемы рис. 27,б . При двух реактивных элементах можно получить звено фильтра второго порядка со спадом АЧХ (или ростом затухания) 12 дБ/окт или 40 дБ/дек. Другие типы фильтров. Ниже приведены АЧХ других типов фильтров: фильтра верхних частот ФВЧ (рис. 6.28,а), полосового фильтра ПФ (рис. 6.28,б), заграждающего фильтра ЗФ (рис. 6.28,в).
6.4.2. Аппроксимация активных RC фильтров Поведение фильтра в частотной области описывается передаточной функцией Т(p), модуль которой при p = jω, рассчитанный в заданной полосе частот, называется АЧХ. Так как значение АЧХ в полосе пропускания близко к единице, а в полосе задерживания много меньше 1, при расчёте используется характеристика затухания (6.17) Передаточная функция фильтра представляет собой дробно-рациональную функцию с вещественными коэффициентами, то есть отношение полиномов (6.18) Корни числителя и знаменателя могут быть вещественными или комплексно-сопряженными, причем корни полинома знаменателя должны лежать в левой комплексной полуплоскости параметра p (иначе это будет не усилитель фильтра, а генератор). Такие полиномы называются полиномами Гурвица. ФНЧ в общем виде описывается передаточной функцией (6.19) В справочниках приводятся различные варианты передаточных функций T(p) ФНЧ или полиномов знаменателя (6.19), различающиеся коэффициентами и характером АЧХ-фильтров. Известны полиномы (и соответственно фильтры) Баттерворта, Чебышева, Бесселя, Лежандра, Кауэра-Золотарёва и другие. Передаточные функции T(p) для ФВЧ, ПФ и других типов фильтров рассчитываются из передаточных функций ФНЧ – фильтров-прототипов. Если полученный на этапе аппроксимации полином имеет порядок выше второго, то такой полином нужно разложить на произведение полиномов 2-го порядка.
6.4.3 Типы звеньев фильтров второго порядка Передаточная функция фильтра высокого порядка может быть представлена в виде произведения передаточных функций 2-го порядка: где (6.20)
Пусть имеется набор некоторых устройств с RВЫХ =0 (рис. 6.32). В этом случае подключение каждого следующего устройства не сказывается на АЧХ предыдущих устройств.
Передаточная функция звена 2-го порядка где ωР – частота полюса; ωZ – частота нуля; QР –добротность полюса; QZ –добротность нуля. Звено 2-го порядка ФНЧ (6.21) где - частота звена (дпя ФНЧ – частота среза); QН – добротность звена; - коэффициент передачи. Звено 2-го порядка ПФ (6.22) Звено 2-го порядка ФВЧ (6.23) Звено 2-го порядка фильтра с нулём передачи: (6.24) Удобно рассматривать характеристики фильтров при нормированной оси частот Ω = (f / fСР). Примеры полиномов звеньев фильтров 2-го порядка: АЧХ этих звеньев приведены на рис. 6.33. У фильтров НЧ и ВЧ 2-го порядка крутизна спада АЧХ равна 40 дБ/дек, у ПФ 2-го порядка крутизна спада каждой ветви равна 20 дБ/дек.
6.4.4. Реализация звеньев фильтров второго порядка на основе ОУ Первоначально электрические фильтры строились исключительно на пассивных элементах – катушках индуктивности L и конденсаторах С. Недостатки таких LС-фильтров – большие габариты и масса, высокая трудоёмкость изготовления и настройки, невозможность миниатюризации – вызваны применением катушек индуктивности L. Использование ОУ позволяет строить звенья активных фильтров на резисторах R и конденсаторах С и полностью отказаться от катушек индуктивности. Звенья активных RС фильтров (АRС-фильтров) имеют RВЫХ ≈ 0, что позволяет включать их последовательно (рис. 6.32) для получения фильтров требуемого порядка. В [6] предложена классификация схем звеньев АRС-фильтров в зависимости от добротности Q звена: · низкодобротные, Q ≤ 2; · среднедобротные, Q ≤ 20; · высокодобротные, Q >20.
Рассмотрим некоторые схемы АRС схем ФНЧ. В результате выполненной аппроксимации для конкретного i-го звена имеем передаточную функцию 2-го порядка (6.19) (а) · Схема низкодобротного звена ФНЧ 2-го порядка (одна из возможных реализаций) приведена на рис. 6.34.
Рис. 6.34. Низкодобротное звено ФНЧ 2-го порядка
Порядок АRС звена определяется числом конденсаторов. Схема выполнена на ОУ, включённом по схеме единичного усиления. В [6] приведены формулы, позволяющие рассчитать значения резисторов и конденсаторов данной схемы: (б) (в) (г) (д) где K должно быть меньше единицы. Имеем систему из 4 уравнений (из выражения (а) берём коэффициенты K , ωН , QН ) и 6 неизвестных. Такая система имеет много решений. Для решения системы уравнений (б ÷ д) нужно ввести дополнительные условия. Возможно, что при этом система уравнений не будет иметь решения; тогда нужно будет ввести другие дополнительные условия. Пример Дано: fН = fП = 10 кГц = 104 . Из выражения для T(p) следует: ωН = 1, QН =1, Ki =0,5. Пусть С2 = С4 = С, R1 =1 (этим мы исключаем 2 неизвестных, чтобы число неизвестных равнялось числу уравнений). Подставим в (г): Уравнение не решается! Введём другое предположение: Пусть R1 =1, R3 =1. Тогда: Из (в): С2С4 = 1. Из (г): Из (д): Из (б): Таким образом, в условных (нормированных) единицах имеем: R1 =1, R11 = R12 =2, R3 =1, С2 =2, С4 =0,5. Теперь проведём денормирование. Зададим RД – сопротивление денормирования. Пусть RД = 1 кОм = 103 . Тогда R1 =1 кОм, R11 = R12 =2 кОм, R3 =1 кОм. Денормирование конденсаторов проводится по формуле (6.25) На рис. 6.35 приведена АЧХ рассчитанного звена ФНЧ. В полосе пропускания К = – 6дБ = 0,5; после fП = 10 кГц идёт спад АЧХ с крутизной 12 дБ/окт (40дБ/дек).
· Схема среднедобротного звена ФНЧ 2-го порядка (2< Q ≤ 20) дана на рис. 6.36. Нормированные значения компонентов можно найти из четырёх уравнений [6]:
Рис. 6.36. Среднедобротное звено ФНЧ 2-го порядка
В этой схеме коэффициент K может быть как меньше, так и больше единицы. Введя подстроечные элементы R5 , R6 , то есть усложнив предыдущую схему, мы получили схему с меньшей чувствительностью к изменению параметров. · Схема высокодобротного звена ФНЧ 2-го порядка дана на рис. 6.37. Рис. 6.37. Высокодобротное звено ФНЧ 2-го порядка
Нормированные значения компонентов можно найти из уравнений [6]: · В справочниках приводятся АRС-звенья 2-го и 1-го порядка для ПФ, ФВЧ и других типов звеньев. Многие типы АRС-фильтров и их звеньев включены в библиотеки современных программ компьютерного моделирования [7].
6.4.5. Понятие о фильтрах на коммутируемых конденсаторах АRС фильтры целесообразно выполнять в виде интегральных микросхем (ИМС). Но при этом нужно учитывать, что в ИМС можно реализовать конденсаторы ёмкостью от единиц пикофарад до нескольких нанофарад, а резисторы – сопротивлением от единиц ом до нескольких килоом (определяется технологическим процессом изготовления ИМС). В то же время, особенно на низких частотах, в схемах АRС-фильтров требуются большие номиналы R или С. Рассмотрим для примера схему ФНЧ первого порядка (рис. 6.38).
Пусть fН = 50 Гц; ωН = 2πּ50; Тогда а1 =1; К= - 1, R1 = R2 ; Зададим СФ = 100 пФ = 10-10. Тогда: R1 = R2 = 1/(2πּ50ּ10-10) = 31,83ּ10-10 = 31,83 МОм. Резисторы со столь большим сопротивлением в ИМС невозможно изготовить. Зададим R1 = R2 = 1 кОм = 103. Тогда: СФ = 1/(2πּ50ּ103) = 3,183ּ103 = 3,183 мкФ. Конденсаторы с такой большой ёмкостью в ИМС также невозможно изготовить. В виде навесных элементов можно применить резисторы и конденсаторы с большими значениями R и С, но невозможно обеспечить их требуемую точность и стабильность. Так, резисторы с сопротивлением более 1 Мом не обеспечивают требуемую точность и стабильность из-за сравнимого по величине и непостоянного сопротивления утечки. Идею построения схемы на коммутируемых конденсаторах рассмотрим на примере (рис. 6.39,а). На рис. 6.39,б изображены 2 противофазных последовательности импульсных сигналов φ1 и φ2 , следующих с частотой fC. τC = 1/2fC . (6.26)
Во время такта φ1 (длительность такта τC) ключи К1-1, К1-2 замкнуты, ключи К2-1, К2-2 разомкнуты, конденсатор С (рис. 6.37,а) заряжается и накапливает заряд Q. Во время такта φ2 (длительность такта также τC) ключи К1-1, К1-2 разомкнуты, ключи К2-1, К2-2 замкнуты, конденсатор С разряжается. Q = С∙(U1 – U 2). (6.27) Ток заряда равен (6.28) Средний ток, протекающий через конденсатор С за период fС с учётом (6.23), равен (6.29) Из выражения (6.26) следует, что множитель перед разностью напряжений является эквивалентом проводимости некого RЭ: RЭ = 1/СfС . (6.30) Необходимое условие: частота fС должна быть намного выше максимальной частоты входного сигнала fВ , чтобы за время такта τC входной сигнал U1 практически не изменился. Пусть С = 10 пФ = 10-11 , fС = 10 кГц. Тогда RЭ = 1/СfС = 107 = 10 МОм. Таким образом, в схеме звена фильтра (рис. 6.39,а) высокоомные резисторы R1 и R2 могут быть заменены на эквивалентные им коммутируемые конденсаторы по схеме рис. 6.39,а. Схема звена ФНЧ на коммутируемых конденсаторах приведена на рис. 6.40.
Передаточная функция этого фильтра, соответствующая прототипу (рис.6.38,б), равна: (6.31) Из выражения (6.31) следует, что на точность реализации передаточной функции влияет не точность значений ёмкостей и их стабильность, а их отношение. Технологически достижима точность отношений значений ёмкостей порядка 0,1%. Таким образом, фильтры на коммутируемых конденсаторах могут быть выполнены полностью на полупроводниковых ИМС.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (4495)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |