Активные RC-фильтры на основе ОУ

 

6.4.1. Общие положения

Электрическими фильтрами являются частотно-избирательные цепи, спроектированные для «пропускания» или передачи сигналов в одной или более непрерывных частотных полосах и заграждения сигналов в дополняющих полосах.

В зависимости от полосы частот пропускания фильтры классифицируются на:

· фильтры нижних частот (ФНЧ);

· фильтры верхних частот (ФВЧ);

· полосовые или полосно-пропускающие фильтры (ПФ) (рис. 6.24);

· частотно-выделяющие (или узкополосные) фильтры;

· частотно-подавляющие (или заграждающие) фильтры (ЗФ).

 

Фильтры являются линейными устройствами, поскольку на их выходе не появляются новые спектральные составляющие. Традиционно описание фильтров производится в частотной области.

Рассмотримфильтр НЧ.

 

 

АЧХ ФНЧ приведена на рис. 6.25, где:

К (f) = 1 в полосе пропускания Е_П, 0 < Е_П < f _П ,

К (f) = 1 в полосе задерживания Е_З, f _З < Е_З < ∞,

f _П - верхняя граничная частота полосы пропускания Е_П,

f _З - нижняя граничная частота полосы задерживания Е_З .

В интервале [f _П , f _З ] характер функции К (f) может быть различным.

АЧХ фильтра (рис. 6.25) мало информативна для расчёта и детального анализа фильтра. Обычно используют график ЧХ затухания (рис. 6.26).

 

 

На рис. 6.26 (6.16)

a_min – минимально - допустимое затухание полосе задерживания Е_З ;

δ – неравномерность затухания в полосе пропускания Е_П .

На рис.27 даны примеры простейших схем ФНЧ.

 

 

а)	б)
Рис. 6.27. Примеры фильтров НЧ 1-го порядка: а – RC-фильтр; б - LR-фильтр

 

 

У обеих схем крутизна спада АЧХ обратно пропорциональна частоте (p = jω), в логарифмическом масштабе спад АЧХ составляет 6 дБ на октаву (6 дБ/окт) или 20 дБ на декаду (20 дБ/дек); такие фильтры называют фильтрами первого порядка.

Для схемы рис. 27,а .

Для схемы рис. 27,б .

При двух реактивных элементах можно получить звено фильтра второго порядка со спадом АЧХ (или ростом затухания) 12 дБ/окт или 40 дБ/дек.

Другие типы фильтров. Ниже приведены АЧХ других типов фильтров: фильтра верхних частот ФВЧ (рис. 6.28,а), полосового фильтра ПФ (рис. 6.28,б), заграждающего фильтра ЗФ (рис. 6.28,в).

 

а)	б)
в)
Рис. 6.28. АЧХ других типов фильтров: а – ФВЧ; б – ПФ; в - ЗФ

 

 

6.4.2. Аппроксимация активных RC фильтров

Поведение фильтра в частотной области описывается передаточной функцией Т(p), модуль которой при p = jω, рассчитанный в заданной полосе частот, называется АЧХ. Так как значение АЧХ в полосе пропускания близко к единице, а в полосе задерживания много меньше 1, при расчёте используется характеристика затухания

(6.17)

Передаточная функция фильтра представляет собой дробно-рациональную функцию с вещественными коэффициентами, то есть отношение полиномов

(6.18)

Корни числителя и знаменателя могут быть вещественными или комплексно-сопряженными, причем корни полинома знаменателя должны лежать в левой комплексной полуплоскости параметра p (иначе это будет не усилитель фильтра, а генератор). Такие полиномы называются полиномами Гурвица.

ФНЧ в общем виде описывается передаточной функцией

(6.19)

В справочниках приводятся различные варианты передаточных функций T(p) ФНЧ или полиномов знаменателя (6.19), различающиеся коэффициентами и характером АЧХ-фильтров. Известны полиномы (и соответственно фильтры) Баттерворта, Чебышева, Бесселя, Лежандра, Кауэра-Золотарёва и другие.

Передаточные функции T(p) для ФВЧ, ПФ и других типов фильтров рассчитываются из передаточных функций ФНЧ – фильтров-прототипов.

Если полученный на этапе аппроксимации полином имеет порядок выше второго, то такой полином нужно разложить на произведение полиномов 2-го порядка.

 

На рис. 6.29 дана АЧХ ФНЧ типа Баттерворта. Для него характерна «плоская» характе-ристика в полосе пропускания, на частоте f П δ = 3 дБ. Наклон АЧХ выше частоты f П пологий (в сравнении с ФНЧ других типов).

 

На рис. 6.30 дана АЧХ ФНЧ типа Чебышева. Для него характерна «волнистая» характеристика в полосе пропускания, минимальное затухание δ на частоте f П может иметь любую заданную величину. Наклон АЧХ более крутой, чем у ФНЧ Баттерворта.

 

На рис. 6.31 дана АЧХ ФНЧ типа Кауэра-Золотарёва (в иностранных источниках – эллиптический). Для него характерна «волнистая» характеристика в полосе пропускания и в полосе затухания. Наклон АЧХ наиболее крутой, в сравненинии с ФНЧ Баттерворта и Чебышева.

 

 

6.4.3 Типы звеньев фильтров второго порядка

Передаточная функция фильтра высокого порядка может быть представлена в виде произведения передаточных функций 2-го порядка:

где (6.20)

 

Пусть имеется набор некоторых устройств с R_ВЫХ =0 (рис. 6.32). В этом случае подключение каждого следующего устройства не сказывается на АЧХ предыдущих устройств.

 

Передаточная функция звена 2-го порядка

где ω_Р – частота полюса;

ω_Z – частота нуля;

Q_Р –добротность полюса;

Q_Z –добротность нуля.

Звено 2-го порядка ФНЧ

(6.21)

где - частота звена (дпя ФНЧ – частота среза);

Q_Н – добротность звена;

- коэффициент передачи.

Звено 2-го порядка ПФ

(6.22)

Звено 2-го порядка ФВЧ

(6.23)

Звено 2-го порядка фильтра с нулём передачи:

(6.24)

Удобно рассматривать характеристики фильтров при нормированной оси частот Ω = (f / f_СР).

Примеры полиномов звеньев фильтров 2-го порядка:

АЧХ этих звеньев приведены на рис. 6.33. У фильтров НЧ и ВЧ 2-го порядка крутизна спада АЧХ равна 40 дБ/дек, у ПФ 2-го порядка крутизна спада каждой ветви равна 20 дБ/дек.

 

6.4.4. Реализация звеньев фильтров второго порядка на основе ОУ

Первоначально электрические фильтры строились исключительно на пассивных элементах – катушках индуктивности L и конденсаторах С. Недостатки таких LС-фильтров – большие габариты и масса, высокая трудоёмкость изготовления и настройки, невозможность миниатюризации – вызваны применением катушек индуктивности L.

Использование ОУ позволяет строить звенья активных фильтров на резисторах R и конденсаторах С и полностью отказаться от катушек индуктивности.

Звенья активных RС фильтров (АRС-фильтров) имеют R_ВЫХ ≈ 0, что позволяет включать их последовательно (рис. 6.32) для получения фильтров требуемого порядка.

В [6] предложена классификация схем звеньев АRС-фильтров в зависимости от добротности Q звена:

· низкодобротные, Q ≤ 2;

· среднедобротные, Q ≤ 20;

· высокодобротные, Q >20.

 

Рассмотрим некоторые схемы АRС схем ФНЧ.

В результате выполненной аппроксимации для конкретного i-го звена имеем передаточную функцию 2-го порядка (6.19)

(а)

· Схема низкодобротного звена ФНЧ 2-го порядка (одна из возможных реализаций) приведена на рис. 6.34.

 

Рис. 6.34. Низкодобротное звено ФНЧ 2-го порядка

 

Порядок АRС звена определяется числом конденсаторов. Схема выполнена на ОУ, включённом по схеме единичного усиления.

В [6] приведены формулы, позволяющие рассчитать значения резисторов и конденсаторов данной схемы:

(б)

(в)

(г)

(д)

где K должно быть меньше единицы.

Имеем систему из 4 уравнений (из выражения (а) берём коэффициенты K , ω_Н , Q_Н ) и 6 неизвестных. Такая система имеет много решений. Для решения системы уравнений (б ÷ д) нужно ввести дополнительные условия. Возможно, что при этом система уравнений не будет иметь решения; тогда нужно будет ввести другие дополнительные условия.

Пример

Дано: f_Н = f_П = 10 кГц = 10⁴ .

Из выражения для T(p) следует: ω_Н = 1, Q_Н =1, Kⁱ =0,5.

Пусть С₂ = С₄ = С, R₁ =1 (этим мы исключаем 2 неизвестных, чтобы число неизвестных равнялось числу уравнений).

Подставим в (г):

Уравнение не решается!

Введём другое предположение:

Пусть R₁ =1, R₃ =1. Тогда:

Из (в): С₂С₄ = 1.

Из (г):

Из (д):

Из (б):

Таким образом, в условных (нормированных) единицах имеем:

R₁ =1, R₁₁ = R₁₂ =2, R₃ =1, С₂ =2, С₄ =0,5.

Теперь проведём денормирование. Зададим R_Д – сопротивление денормирования. Пусть R_Д = 1 кОм = 10³ .

Тогда R₁ =1 кОм, R₁₁ = R₁₂ =2 кОм, R₃ =1 кОм.

Денормирование конденсаторов проводится по формуле

(6.25)

На рис. 6.35 приведена АЧХ рассчитанного звена ФНЧ. В полосе пропускания К = – 6дБ = 0,5; после f_П = 10 кГц идёт спад АЧХ с крутизной 12 дБ/окт (40дБ/дек).

 

 

· Схема среднедобротного звена ФНЧ 2-го порядка (2< Q ≤ 20) дана на рис. 6.36. Нормированные значения компонентов можно найти из четырёх уравнений [6]:

 

Рис. 6.36. Среднедобротное звено ФНЧ 2-го порядка

 

В этой схеме коэффициент K может быть как меньше, так и больше единицы. Введя подстроечные элементы R₅ , R₆ , то есть усложнив предыдущую схему, мы получили схему с меньшей чувствительностью к изменению параметров.

· Схема высокодобротного звена ФНЧ 2-го порядка дана на рис. 6.37.

Рис. 6.37. Высокодобротное звено ФНЧ 2-го порядка

 

Нормированные значения компонентов можно найти из уравнений [6]:

· В справочниках приводятся АRС-звенья 2-го и 1-го порядка для ПФ, ФВЧ и других типов звеньев. Многие типы АRС-фильтров и их звеньев включены в библиотеки современных программ компьютерного моделирования [7].

 

6.4.5. Понятие о фильтрах на коммутируемых конденсаторах

АRС фильтры целесообразно выполнять в виде интегральных микросхем (ИМС). Но при этом нужно учитывать, что в ИМС можно реализовать конденсаторы ёмкостью от единиц пикофарад до нескольких нанофарад, а резисторы – сопротивлением от единиц ом до нескольких килоом (определяется технологическим процессом изготовления ИМС). В то же время, особенно на низких частотах, в схемах АRС-фильтров требуются большие номиналы R или С.

Рассмотрим для примера схему ФНЧ первого порядка (рис. 6.38).

 

а)	б)
Рис. 6.38. Звено АRС ФНЧ 1-го порядка: а - схема звена; б - передаточная функция

 

Пусть f_Н = 50 Гц; ω_Н = 2πּ50;

Тогда а₁ =1; К= - 1, R₁ = R₂ ;

Зададим С_Ф = 100 пФ = 10^-10.

Тогда: R₁ = R₂ = 1/(2πּ50ּ10^-10) = 31,83ּ10^-10 = 31,83 МОм.

Резисторы со столь большим сопротивлением в ИМС невозможно изготовить.

Зададим R₁ = R₂ = 1 кОм = 10³.

Тогда: С_Ф = 1/(2πּ50ּ10³) = 3,183ּ10³ = 3,183 мкФ.

Конденсаторы с такой большой ёмкостью в ИМС также невозможно изготовить.

В виде навесных элементов можно применить резисторы и конденсаторы с большими значениями R и С, но невозможно обеспечить их требуемую точность и стабильность. Так, резисторы с сопротивлением более 1 Мом не обеспечивают требуемую точность и стабильность из-за сравнимого по величине и непостоянного сопротивления утечки.

Идею построения схемы на коммутируемых конденсаторах рассмотрим на примере (рис. 6.39,а).

На рис. 6.39,б изображены 2 противофазных последовательности импульсных сигналов φ₁ и φ₂ , следующих с частотой f_C.

τ_C = 1/2f_C . (6.26)

 

а)	б)
Рис. 6.39. Звено схемы на коммутируемых конденсаторах: а - коммутируемый конденсатор; б) временные диаграммы

 

 

Во время такта φ₁ (длительность такта τ_C) ключи К_1-1, К_1-2 замкнуты, ключи К_2-1, К_2-2 разомкнуты, конденсатор С (рис. 6.37,а) заряжается и накапливает заряд Q. Во время такта φ₂ (длительность такта также τ_C) ключи К_1-1, К_1-2 разомкнуты, ключи К_2-1, К_2-2 замкнуты, конденсатор С разряжается.

Q = С∙(U₁ – U ₂). (6.27)

Ток заряда равен

(6.28)

Средний ток, протекающий через конденсатор С за период f_С с учётом (6.23), равен

(6.29)

Из выражения (6.26) следует, что множитель перед разностью напряжений является эквивалентом проводимости некого R_Э:

R_Э = 1/Сf_С . (6.30)

Необходимое условие: частота f_С должна быть намного выше максимальной частоты входного сигнала f_В , чтобы за время такта τ_C входной сигнал U₁ практически не изменился.

Пусть С = 10 пФ = 10^-11 , f_С = 10 кГц. Тогда R_Э = 1/Сf_С = 10⁷ = 10 МОм.

Таким образом, в схеме звена фильтра (рис. 6.39,а) высокоомные резисторы R₁ и R₂ могут быть заменены на эквивалентные им коммутируемые конденсаторы по схеме рис. 6.39,а. Схема звена ФНЧ на коммутируемых конденсаторах приведена на рис. 6.40.

 

Передаточная функция этого фильтра, соответствующая прототипу (рис.6.38,б), равна:

(6.31)

Из выражения (6.31) следует, что на точность реализации передаточной функции влияет не точность значений ёмкостей и их стабильность, а их отношение. Технологически достижима точность отношений значений ёмкостей порядка 0,1%.

Таким образом, фильтры на коммутируемых конденсаторах могут быть выполнены полностью на полупроводниковых ИМС.