Средняя квадратическая ошибка измерений

Для оценки точности измерений, то есть для определения степени близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины, чаще всего определяют среднюю квадратическую ошибку. Эта величина определяется по результатам измерений по формуле, предложенной Гауссом:

Величина m является также случайной величиной, зависит от числа измерений и сама определяется с ошибкой:

Для определения допустимости полученной ошибки вычисляют предельную ошибку Δ_пр, больше которой ошибки относятся уже к грубым.

Величину предельной ошибки определяют по формуле:

Δ_пр =km, где k = 2 (вероятность 0.95) или 3 (вероятность 0.997).

Точность геодезических измерений характеризуется абсолютными и относительными ошибками. Абсолютнымиявляются истинные, средние квадратические и предельные. Относительной ошибкой ε называется отношение соответствующей абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины. Ее выражают в виде дроби, где в числителе 1.

Если измеренную величину обозначить Х_ср, то

где ε_m и ε_пр - соответственно относительная средняя квадратическая и предельная ошибки.

Вычисление среднеквадратической ошибки по формуле Гаусса возможно только тогда, когда известны истинные ошибки измерений, однако в большинстве случаев они не известны. Поэтому на практике задача решается через уклонения результатов измерений от их арифметического среднего v (вероятнейшие ошибки), которые вычисляются по результатам многократных измерений. В этом случае среднеквадратическая ошибка вычисляется по формуле Бесселя:

где v - вероятнейшие ошибки: v_i = X_i - X_ср.

Средняя квадратическая ошибка функций

Измеренных величин

В тех случаях, когда используются косвенные методы измерений, ошибка результата зависит как от ошибок измеренных величин, так и от действий (функций), с помощью которых вычислен искомый результат. Поэтому определение ошибок функций измеренных величин m_f имеет большое практическое значение. Пусть имеем в общем виде функцию от многих независимых величин:

Z = f(l₁, l₂, ….l_n).

С учетом ошибок измерений величин l можно записать:

Z+ ΔZ= f(l₁+Δl₁, l₂+Δl₂,…. l_n+Δl_n).

Поскольку Δl₁,Δl₂,…Δl_n, то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. При разложении в ряд возникают частные производные, поскольку в уравнении имеются несколько переменных аргументов. Не вдаваясь в детализацию вывода, запишем итоговую формулу для определения квадрата средней квадратической ошибки функции нескольких переменных:

Таким образом, квадрат среднеквадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднеквадратическую ошибку соответствующего аргумента.

В частности для функции в виде суммы (разности) аргументов вида:

Z = X ± Y ± T ± U ± ... ±V,

будем иметь:

Для функции вида Z = kX, соответственно или .