Производная сложной функции

В п. 5.2 был рассмотрен вопрос о вычислении частных производных функции нескольких переменных, когда ее аргументами являются независимые переменные. Однако довольно часто встречаются случаи, когда аргументы функции нескольких переменных в свою очередь зависят от других переменных. Это так называемые сложные функции, с которыми мы уже сталкивались при изучении дифференцирования функций одной переменной. Рассмотрим три случая.

1. Пусть дана функция двух переменных с областью определения . При этом аргументы функции и , в свою очередь, зависят от одной переменной . Переменная меняется таким образом, что не выходят из области определения функции.

В принципе, подставляя выражения и в функцию , можно свести ее к функции одной переменной: . Значит, в конечном счете, и может быть продифференцирована по этой переменной. Выясним, каким образом можно вычислить без подстановки и в функцию .

Пусть все частные производные и , а также производные и определены и непрерывны для всех возможных значений , и . Возьмем некоторое конкретное значение независимой переменной и дадим ей приращение : . Это приведет к тому, что приращения получат обе переменные и : , . Но в этом случае должна измениться и сама функция , причем, как показано в п. 5.3, она получит полное приращение

.

Разделим обе части полученного равенства на и перейдем к пределу при , то есть найдем :

Окончательно данное выражение можно записать следующим образом:

.

Если , где , ,…, , то:

.

2. Рассмотрим теперь функцию при условии, что . При подстановке в получаем функцию, зависящую только от одной переменной: . Следовательно, в данном случае можно вычислить .

Если производные , , непрерывны в области определения функции, то данный случай можно привести к предыдущему. Действительно, положив , получаем и . Таким образом,

.

В полученном выражении имеются две производные по . Одна из них – частная производная функции двух переменных, для ее вычисления необходимо считать константой. Другая производная – это производная сложной функции одной переменной . Эта производная, в отличие от первой, называется полной производной по .

Если , где ,…, , то

.

3. Рассмотрим теперь наиболее общий случай: где и при этом , .. Очевидно, подставляя и в , мы снова получим функцию двух переменных . Для этой функции можно вычислить частные производные и .

Пусть снова , , , , , непрерывны в области определения функции . Найдем вначале . При этом, очевидно, необходимо считать константой. Но тогда будет функцией только одной переменной и можно воспользоваться выражением, полученным в случае 1:

.

Аналогично

.