Производная сложной функции
В п. 5.2 был рассмотрен вопрос о вычислении частных производных функции нескольких переменных, когда ее аргументами являются независимые переменные. Однако довольно часто встречаются случаи, когда аргументы функции нескольких переменных в свою очередь зависят от других переменных. Это так называемые сложные функции, с которыми мы уже сталкивались при изучении дифференцирования функций одной переменной. Рассмотрим три случая. 1. Пусть дана функция двух переменных с областью определения . При этом аргументы функции и , в свою очередь, зависят от одной переменной . Переменная меняется таким образом, что не выходят из области определения функции. В принципе, подставляя выражения и в функцию , можно свести ее к функции одной переменной: . Значит, в конечном счете, и может быть продифференцирована по этой переменной. Выясним, каким образом можно вычислить без подстановки и в функцию . Пусть все частные производные и , а также производные и определены и непрерывны для всех возможных значений , и . Возьмем некоторое конкретное значение независимой переменной и дадим ей приращение : . Это приведет к тому, что приращения получат обе переменные и : , . Но в этом случае должна измениться и сама функция , причем, как показано в п. 5.3, она получит полное приращение . Разделим обе части полученного равенства на и перейдем к пределу при , то есть найдем : Окончательно данное выражение можно записать следующим образом: . Если , где , ,…, , то: . 2. Рассмотрим теперь функцию при условии, что . При подстановке в получаем функцию, зависящую только от одной переменной: . Следовательно, в данном случае можно вычислить . Если производные , , непрерывны в области определения функции, то данный случай можно привести к предыдущему. Действительно, положив , получаем и . Таким образом, . В полученном выражении имеются две производные по . Одна из них – частная производная функции двух переменных, для ее вычисления необходимо считать константой. Другая производная – это производная сложной функции одной переменной . Эта производная, в отличие от первой, называется полной производной по . Если , где ,…, , то . 3. Рассмотрим теперь наиболее общий случай: где и при этом , .. Очевидно, подставляя и в , мы снова получим функцию двух переменных . Для этой функции можно вычислить частные производные и . Пусть снова , , , , , непрерывны в области определения функции . Найдем вначале . При этом, очевидно, необходимо считать константой. Но тогда будет функцией только одной переменной и можно воспользоваться выражением, полученным в случае 1: . Аналогично .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (808)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |