Решение системы линейных уравнений (61-70)

 

А. Метод Гаусса.

 

Пример.Решить методом Гаусса систему уравнений

 

 

Используя первое уравнение, исключим вначале из второго и третьего уравнений. Для этого сложим первое уравнение, умноженное на -1, со вторым, умноженным на 2. Затем первое уравнение, умноженное на -2, сложим с третьим уравнением.

Получим

 

Исключим из третьего уравнения , складывая второе уравнение, умноженное на 27, с третьим, умноженным на 13:

 

 

Теперь последовательно находим и :

 

, , ;

, , .

 

Ответ: , , .

Б. Матричный способ.

 

Рассмотрим вначале действия над матрицами.

Матрицей размером называется таблица чисел, содержащая строк и столбцов.

Если , то получаем квадратную матрицу го порядка.

При умножении матриц каждая строка первой матрицы умножается на каждый столбец второй.

При умножении строки на столбец перемножаются их первые элементы, вторые и т.д. и результаты складываются. Поэтому можно умножать только такие матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Примеры.

,

 

.

 

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если

.

 

Покажем, как найти обратную матрицу .

Пусть

.

 

а) .

 

Так как , то существует.

 

б) Пусть - элемент матрицы , расположенной в -й строке и -м столбце. Если в определителе вычеркнуть строку и столбец с элементом , то получим дополнительный минор элемента . Это определитель 2-го порядка.

 

Составим матрицу из дополнительных миноров элементов матрицы :

 

.

 

 

в) Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов .

 

если 2 четное число,   если 2 нечетное число .

 

.

 

г) Транспонируем матрицу , т.е. строки поменяем местами со столбцами:

 

.

 

Обратная матрица определяется формулой

,

 

.

 

Покажем, как решается система уравнений матричным способом.

 

 

Пример. Решить систему

Решение.Обозначим:

 

, , .

 

Получаем матричное уравнение .

Его решение , т.е.

 

.

 

Ответ:

 

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования (71-80)

 

Пусть

, .

 

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования, заданного матрицей А, если

 

,

 

где – собственное значение, находящееся из характеристического уравнения

,

или

.

 

Раскрываем определитель по элементам первой строки:

 

,

 

,

 

, т.к. ; .

 

Составим систему уравнений для координат собственного вектора . Коэффициентами при неизвестных будут элементы определителя при :

 

 

Полагаем , тогда , .

2 собственный вектор с собственным значением .