Интегрирование рациональных функций (181-190, г)
Отношение двух многочленов называется рациональной функцией. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то рациональная функция называется правильной, в противном случае – неправильной. Простейшими рациональными функциями называются функции вида ,
где – действительные числа; – натуральное число и . Алгоритм интегрирования рациональной функции: 1. Если рациональная функция неправильная, то с помощью деления ее нужно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции. 2. Знаменатель правильной рациональной функции нужно разложить на линейные и квадратичные множители. 3. Используя метод неопределенных коэффициентов, разложить правильную рациональную функцию на сумму простейших. 4. Проинтегрировать все полученные слагаемые.
Пример.Вычислить .
Подынтегральная функция правильная, и ее знаменатель разложен на множители, поэтому переходим к третьему пункту алгоритма. Разложение на сумму простейших для этой функции будет иметь вид
,
где – некоторые числа (неопределенные коэффициенты), которые нужно найти. Дроби в правой части приводим к общему знаменателю (он равен ) и приравниваем числители.
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части, получим систему уравнений.
Таким образом,
.
1912200.Если – непрерывная функция на и – первообразная для , то определенный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница . Пример. . При вычислении определенного интеграла можно использовать формулу интегрирования по частям:
.
(функции и должны быть непрерывны на ).
Пример. .
В определенном интеграле можно сделать замену переменной , тогда ,
где числа и такие, что , (функция должна быть непрерывна на , функция – непрерывна на ).
201 − 210. Геометрические приложения определенного интеграла .
Пусть функция непрерывна и неотрицательна на . Тогда площадь криволинейной трапеции (рис.5), ограниченной графиком функции , осью и прямыми вычисляется по формуле .
Рис. 5
Длина дуги , заданной графиком функции , вычисляется по формуле .
Если функция задана параметрически уравнениями , , где , то
, ,
.
Пусть в полярной системе координат задана функция , где – полярный угол, – полярный радиус точки.
Рис. 6
Длина дуги вычисляется по формуле .
Пример.Вычислить длину одной арки циклоиды , , .
Решение. Нарисуем арку циклоиды (рис. 7). Заметим, что если меняется от 0 до , то возрастает от 0 до , а сначала возрастает от 0 до , а затем убывает до 0.
Рис. 7
.
211 − 220.Несобственные интегралы – это обобщение понятия определенного интеграла для случая, когда либо неограниченным является промежуток интегрирования, либо неограничена подынтегральная функция на отрезке интегрирования. Рассмотрим эти два случая. 1. Пусть функция непрерывна на , тогда называется несобственным интегралом от функции на промежутке и обозначается , т.е. , при этом, если существует конечный предел, говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае – расходится. Аналогично ,
, ( 1 )
при этом несобственный интеграл в левой части формулы (1) называется сходящимся, если оба несобственных интеграла в правой части формулы (1) сходятся (число а в формуле (1) можно выбрать произвольно).
2. Пусть функция непрерывна на и , тогда называется несобственным интегралом и обозначается , т.е. ,
при этом, если существует конечный предел, то несобственный интеграл называется сходящимся. Возможны другие случаи, например,
. Следовательно, несобственный интеграл расходится.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (904)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |