Интегрирование рациональных функций (181-190, г)

Отношение двух многочленов называется рациональной функцией. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то рациональная функция называется правильной, в противном случае – неправильной. Простейшими рациональными функциями называются функции вида

,

 

где – действительные числа; – натуральное число и .

Алгоритм интегрирования рациональной функции:

1. Если рациональная функция неправильная, то с помощью деления ее нужно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции.

2. Знаменатель правильной рациональной функции нужно разложить на линейные и квадратичные множители.

3. Используя метод неопределенных коэффициентов, разложить правильную рациональную функцию на сумму простейших.

4. Проинтегрировать все полученные слагаемые.

 

Пример.Вычислить .

 

Подынтегральная функция правильная, и ее знаменатель разложен на множители, поэтому переходим к третьему пункту алгоритма. Разложение на сумму простейших для этой функции будет иметь вид

 

,

 

где – некоторые числа (неопределенные коэффициенты), которые нужно найти. Дроби в правой части приводим к общему знаменателю (он равен ) и приравниваем числители.

 

.

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части, получим систему уравнений.

Таким образом,

 

.

 

1912200.Если – непрерывная функция на и – первообразная для , то определенный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница

.

Пример.

.

При вычислении определенного интеграла можно использовать формулу интегрирования по частям:

 

.

 

(функции и должны быть непрерывны на ).

 

Пример.

.

 

В определенном интеграле можно сделать замену переменной , тогда

,

 

где числа и такие, что , (функция должна быть непрерывна на , функция – непрерывна на ).

 

 

201 − 210.

Геометрические приложения определенного интеграла .

 

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на . Тогда площадь криволинейной трапеции (рис.5), ограниченной графиком функции , осью и прямыми вычисляется по формуле

.

	Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси , вычисляется по формуле   .

 

Рис. 5

 

Длина дуги , заданной графиком функции , вычисляется по формуле

.

 

Если функция задана параметрически уравнениями , , где , то

 

, ,

 

.

 

Пусть в полярной системе координат задана функция , где – полярный угол, – полярный радиус точки.

		Если функция непрерывна на , то площадь криволинейного сектора , ограниченного графиком функции и лучами , (рис. 6), вычисляется по формуле:   .

 

 

Рис. 6

 

Длина дуги вычисляется по формуле .

 

Пример.Вычислить длину одной арки циклоиды , , .

 

Решение. Нарисуем арку циклоиды (рис. 7). Заметим, что если меняется от 0 до , то возрастает от 0 до , а сначала возрастает от 0 до , а затем убывает до 0.

 

 

Рис. 7

 

 

.

 

211 − 220.Несобственные интегралы – это обобщение понятия определенного интеграла для случая, когда либо неограниченным является промежуток интегрирования, либо неограничена подынтегральная функция на отрезке интегрирования. Рассмотрим эти два случая.

1. Пусть функция непрерывна на , тогда называется несобственным интегралом от функции на промежутке и обозначается , т.е.

,

при этом, если существует конечный предел, говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае – расходится.

Аналогично

,

 

, ( 1 )

 

при этом несобственный интеграл в левой части формулы (1) называется сходящимся, если оба несобственных интеграла в правой части формулы (1) сходятся (число а в формуле (1) можно выбрать произвольно).

 

2. Пусть функция непрерывна на и , тогда называется несобственным интегралом и обозначается , т.е.

,

 

при этом, если существует конечный предел, то несобственный интеграл называется сходящимся.

Возможны другие случаи, например,

 

.

Следовательно, несобственный интеграл расходится.