Определим углы между стержнями в каждом узле

Для групп 142 зб и зп

Введение

Статика – раздел теоретической механики, занимающийся изучением сил и условий их равновесия, также статика занимается задачами сложения сил и задачами разложения сил. Окружающие нас реальные тела отличаются многими качественными и в том числе формой, размерами, материалом, массой. Объектом изучение раздела «Статика» служат не реально существующие тела, а наделенные идеальными свойствами их абстрактные образцы – материальная точка и абсолютно твердое тело. Материальные тела находятся друг с другом во взаимодействии. Перемещение тела в пространстве ограничено какими-либо другими телами называемыми связями.

Задача определение реакций связей – одна из основных задач статики.

Контрольная работа № 1

Цель работы:Научить определять усилия в стержнях кронштейнов, ферм, монтажных стрел.

Тема:Плоская система сходящихся сил. Определение внутренних сил в стержнях кронштейнов, ферм, монтажных стрел.

Задача решается аналитическим и графическим способами.

Аналитическое решение.

1. Обозначают узлы и стержни фермы. Узлы можно обозначить буквами, а стержни – цифрами. Порядок обозначения произвольный.

2. Определяют величины углов между стержнями в каждом узле, используя геометрическую схему фермы.

3. Мысленно вырезают узел, в котором сходятся два стержня.

Определяют усилия в этих стержнях в следующем порядке:

а) стержни заменяют усилиями в них. Усилия обозначают буквой S с подстрочным индексом, указывающим номер стержня, в котором определяется усилие;

б) выбирают систему координат. Начало координат совмещают с точкой пересечения всех стержней. Удобнее одну из осей совмещать с одним из неизвестных усилий, а вторую проводить перпендикулярно первой.

в) составляют уравнения равновесия:

1. Σ F_х = 0, 2. Σ F_у = 0

Решают их и находят неизвестные усилия.

4. Вырезают поочередно все узлы фермы, причем каждый вырезанный узел должен иметь не более двух неизвестных усилий. Порядок определения остается таким же, как для первого узла.

 

Графическое решение

1. Вычерчивают геометрическую схему фермы строго в масштабе. Масштаб выбирается произвольно и определяется размерами чертежа.

2. Выбирают масштаб сил. Можно принять в 1 см 3,5,10 кН. При неудачной попытке масштаб следует изменить.

3. Мысленно вырезают узел в котором сходятся два стержня.

Определяют усилия в этих стержнях в следующем порядке:

а) обозначают стержни и усилия, как при аналитическом решении:

б) для определения усилий в стержнях, в принятом масштабе сил откладывают известную по величине и направлению силу, приложенную в узле. Затем, при выбранном обходе узла, через начало и конец вектора, изображающего силу, проводим две линии, параллельные стержням, в которых отыскиваются усилия до взаимного их пересечения. Измеренные в масштабе сил отрезки (стороны треугольника) дают величину усилия в стержне, параллельном этому отрезку;

в) определяют знак усилия. Устанавливают направление действия усилия на силовом треугольнике. Для системы сил, находящийся в равновесии, все стрелки в нем должны быть направлены в одну сторону (замыкаться). Направление обхода треугольника определяется направлением действия силы. Перенесем полученное направление усилия на узел. Если при этом усилие направлено к узлу, то стержень будем считать сжатым, а если от узла - растянутым. Сравнивают результаты решения задачи двумя способами: аналитическим и графическим.

 

Пример 1.Определить усилия в стержнях консольной фермы аналитическим и графическим способами. Рассмотрим три узла.

 

Аналитическое решение

1. Обозначим узлы А, В, С, D и К и стержни 1,2,3,4,5 и 6 (Рис. 1.а).

Определим углы между стержнями в каждом узле.

Из треугольника АМD

tg (α + β) = = 0,5 α + β = 26⁰ 36^/

Из треугольника КАМ

 

tg α = = 0,1667 α = 9⁰ 30^/

β = (α + β) – α = 26⁰ 36 - 9⁰ 30^/ = 17⁰ 06^/

γ = 90⁰ – α = 90⁰ – 9⁰ 30^/ = 80⁰ 30^/

δ = 90⁰ + α = 90⁰ + 9⁰ 30^/ = 99⁰ 30^/

 

Из треугольника АВИ

Θ = 90⁰ – (α + β) = 90⁰ – 26⁰36^/ =63⁰24^/

Из треугольника ВNК

tg ω = =6,0 ω = 80⁰ 30^/

λ = 180⁰ – (Θ + ω) = 180⁰ – 143⁰ 54^/ = 36⁰ 06^/

3. Вырезаем узел А (рис. 1. в), в котором сходятся два стержня 1 и 2. Определяем усилия в этих стержнях;

а) заменяем стержни усилиями S ₁, и S₂.

б) выбираем систему координат. Ось х совместим с неизвестным усилием S₂, а ось у в направлении перпендикулярно оси х. Укажем углы между усилиями (или соответствующими им стержнями и осями координат);

 

в) составляем уравнения равновесия

1. Σ F_х = 0, 2. Σ F_у = 0

Первое уравнение для узла А

S₁ сos β + S₂ – F sin α = 0

второе

- Fcos α + S₁ sin β = 0

Из второго уравнения

S₁ = = = =67,1 кН

Из первого уравнения

S₂ = F sin α – S₁ cos β = 20 sin 9⁰ 30^/ -67,1 cos 17⁰06^/ = 20∙ 0,165 – 67,1 ∙ 0,9558 = 3,3 – 64,1 =-60,8 кН

Знак «плюс» свидетельствует о том, что стержень 1 растянут, а «минус» - стержень 2 сжат.

4. Рассмотрим узел С (рис.1 г). В нем сходятся два стержня 3 и 6, усилия в которых неизвестны. Ось у совместим с неизвестным усилием S₃, а ось х направим перпендикулярно оси у. Составим уравнения равновесия.

 

1. Σ F_х = 0, 2. Σ F_у = 0

Первое уравнение для узла С

S₆ sin γ – S₂ sin γ = 0

Второе

S₃ + S₆ cos γ – S₂ cos γ = 0

Из первого уравнения

S₆ = =S₂=-60,8 кН

Из второго уравнения

S₃ =- S₆ cos γ + S₂ cos γ = 60,8 · cos γ -60,8· cos γ = 0

5. Рассмотри узел В (рис. 1 d)

В нем сходятся стержни S₄ и S₅, усилия в которых неизвестны. Ось Х совместим с неизвестным усилием S₅, а ось у направим перпендикулярно оси Х. Укажем углы между усилием и осями координат.

Составим уравнения равновесия

1. Σ F_х = 0 Σ F_у = 0

Первое уравнение для узла В

 

S₄ cos λ + S₅ – S₁ сos λ + F cos ω + S₃ cos ω = 0

Второе

-F sin ω - S₁ · sin λ – S₃ sin ω + S₄ sin λ = 0

 

Из второго уравнения

Из первого уравнения

S₅ =-S₄ cos λ + S₁ cos λ – F cos ω – S₃ cos ω = -101,5 cos 36⁰ 06^/ + 67,1 ∙ cos λ - 20 сos 80⁰ 30^/ -0 = -101,5 ∙ 0,808 + 67,1 ∙ 0,808 – 20 0,165 = - 82+ 54,2 – 3,3 =-31,1 кН

Знак «минус» свидетельствует о том, что стержень S₅ cжат.

 

Графическое решение

1. Вычерчиваем ферму в масштабе 1:50 (рис. 1.1а).

2. Выбираем масштаб сил, например в 1 см = 5 кН.

3. Мысленно вырезаем узел А. Определяем усилия в стержнях 1 и 2.

а) обозначаем усилия в стержнях S₁ и S₂.

б) из произвольной точки а проводим отрезок ав параллельный и равный в принятом масштабе силы F. Через точки

а и в проводим линии, параллельные стержням 2 и 1, до взаимного пересечения, выбрав обход узла по часовой стрелке (рис 1.1б). Полученные отрезки вс и ас, измеренные в масштабе сил, соответствуют усилиям S₁ и S₂ в стержнях 1 и 2. длина отрезка вс = 13,45 см, следовательно,

S₁ = 13,45 · 5 = 67,25 кН. Длина отрезка ас = 12,2 см,

S₂ = 12,2 · 5 = 61 кН

в) определим знаки усилий. Направление силы F известно - она направлена вниз. Поставим стрелки на отрезках вс и са так, чтобы они были направлены в одну сторону. Перенесем направление усилия S₁ на стержень 1 (рис. 1.1а), оно направлено от узла, т.е стержень 1 растянут. Усилие S₂ при таком переносе направлено к узлу, т.е стержень S₂ сжат.

4. Вырезаем узел С. Из точки d (Рис. 1.1.в) проводим известное усилие S₂ параллельно стержню 2. Через концы отрезка (точки d и с) проводим линии, параллельные стержням 3 и 6. из построения следует, что S₃ = 0, а S₂ =S₆ = 61 кН.

Стержень S₆, сжат, то усилие будет направлено к узлу.

5. Вырезаем узел В. Проводим линии из точки f, параллельные уже известным усилию S₁ и силе F в принятом масштабе (рис.1.1.г). Через точки k и n, проводим линии, параллельные стержням, стержням 4 и 5, до их пересечения в точке m. Отрезки km и nm, измеренные в масштабе сил, дают величины усилий S₄ = 20,1 · 5 = 100,5 кН и S₅ = 6,2 · 5 = 31 кН. Определим знаки усилий. Все стрелки на силовом многоугольнике nfkm расставим против часовой стрелки. Это определено направлением усилие S, и силы F. Перенесем направление усилия S₅ на стержень 5, оно будет направлено к узлу, т.е стержень 5 сжат. Перенесем направление усилия S₆ на стержень 6, оно будет направлено от узла, т.е. стержень 6 растянут.

Составим сравнительную таблицу усилий, найденных аналитическим и графическим способом.

Усилие (кН) в стержнях фермы.

Усилие	S1	S2	S3	S4	S5	S6
Аналитическое решение	67,1	-60,8		100,6	-31,1	-60,8
Графическое решение	67,25	-61		100,5	-31	-61

 

Пример 2. Определить усилие в стержнях консольной фермы аналитическим и графическим способами. Рассмотрим три узла.

 

Аналитическое решение

1. Обозначим узлы А,В,С,Д,К,М и стержни 1,2,3,4,5,6,7 и 8 (Рис. 1.2 а).

2. Определим углы между стержнями в каждом узле.

Из треугольника АКИ

tg α = = 0,1667 α = 9⁰ 30^/

γ = 90⁰ + α = 90⁰ + 9⁰30^/ - 99⁰30^/

Из треугольника BCN

tg (β + α) = = 0,8333 β + α = 39⁰48^/

β = β + α - α =39⁰48^/ - 9⁰ 30^/= 30⁰18^/

ω = 90 – (β + α) = 90⁰ – 39⁰48^/= 50⁰12^/

η = ω + β =50⁰12^/ + 30⁰18^/ = 80⁰ 30^/

Из треугольника СЕМ

tg θ = = 2 θ = 63⁰24^/

3. Вырезаем узел А (рис. 1.2.в), в котором сходятся два стержня 1 и 2. Определяем усилие в этих стержнях.

а) заменяем стержни усилиями S₁ и S₂.

б) выбираем систему координат. Ось у совместим с неизвестным усилием S₁,а ось х направим перпендикулярно оси у. Укажем углы между усилиями или осями координат и усилиями.

Укажем углы между усилиями и осями координат

в) составляем уравнение равновесия

1. Σ F_х = 0 2. Σ F_у = 0

Первое уравнение для узла А

S₂ cos α = 0

Второе

- F – S₁ + S₂ sin α = 0

Из первого уравнения

S₂ = 0

Из второго

S₁ = - F =- 15 кН

Знак «-« свидетельствует о том, что стержень 1 сжат.

4. Вырезаем узел В (рис.1.2 г). В нем сходятся два стержня 3 и 4, усилие в которых неизвестны. Ось х совместим с неизвестным усилием S₄, а ось у направим перпендикулярно оси у.

Центр пересечения осей координат должен быть совмещен с центром узла.

Составим уравнения равновесия

1. Σ F_х = 0 2. Σ F_у = 0

Первое уравнение для узла В.

S₁ sin α + S₃ cos β + S₄ = 0

 

Рис. 1.2.

 

S₄ + S₃ cos β + S₁sin α = 0

Второе

S₁ cos α + S₃sin β = 0

Из второго уравнения

S₃ =-

Из первого уравнения

S₄ = - S₃ ∙cos β – S₁ sin α = -29,3 ∙cos 30⁰18^/ + 15sin 9⁰30^/ =

-29,3 ∙0,8634 + 15 ∙0,165 = - 22,8 кН

Знак «плюс» свидетельствует о том, что стержень 3 растянут, а «минус» - стержень 4 – сжат.

5. Вырезаем узел Д (рис. 1.2. д). В нем сходятся два стержня 5 и 8, усилие в которых неизвестны. Ось у совместим с неизвестным усилием S₅, а ось х проведем через узел Д и перпендикулярно оси у. Составим уравнения равновесия.

1. Σ F_х = 0 2. Σ F_у = 0

Первое уравнение для узла Д

S₈ сos α – S₄ сos α = 0

Второе

S₅ – F + S₈ sin α – S₄ sin α = 0

Из первого уравнения

S₈ = S₄ = - 22,8 кН

Из второго

S₅ = F = 15 кН

6. Вырезаем узел С (Рис. 1.2. е), в котором сходятся два стержня 6 и 7, усилие в которых неизвестны. Выбираем систему координат, центр которой совмещаем с узлом С, ось Х совместим с неизвестным усилием S₆, а ось у проведем перпендикулярно оси Х.

Составим уравнения равновесия

1. Σ F_х = 0 2. Σ F_у = 0

Первое уравнение для узла С

- S₂ + S₆ + S₇ cos λ - S₅ sin α – S₃ cos β = 0

Второе

- S₇ sin λ – S₃ sin β – S₅ cos α = 0

Из второго уравнения

Из первого

S₆ = S₂ – S₇ сos λ + S₅ sin α + S₃ cos β = 0 + 50,2 cos 36⁰06^/ + 15· sin9⁰30^/ + 29,3·сos 30⁰18^/ =50,2 ·0,808 +15·0,165 + 29,3 ·0,8634 =40,6 +2,5 +25,3 = 68,4 кН

Знак «-« свидетельствует о том, что стержень 7 сжат, а «+» - стержень 6 растянут.

Графическое решение

1. Вычерчиваем ферму в масштабе, например, 1:50 (Рис.1.3 а).

2. Выбираем масштаб сил, например, в см = 5 кН.

3. Мысленно вырезаем узел А. Определяем усилия в стержнях 1и 2:

а) обозначим усилия в стержнях S₁ и S₂

б) из произвольной точки а проводим отрезок ав параллельный и равный в принятом масштабе силе F. Через точки а и в проводим линии параллельные стержням 1 и 2, до взаимного пересечения, выбрав обход узла по часовой стрелке, начиная от силы F (Рис 1.3. б). Из построения следует, что S₂ = 0, а S₁ = F = 15 кН.

Стержень S₁ сжат т.к. при переносе его направления на стержень 1, то оно будет направлено к узлу.

 

4. Вырезаем узел В (Рис. 1.3.в)

Из точки с проводим известное усилие S₁ параллельно стержню 1 в принятом масштабе. Через точки с и d проводим линии параллельные стержням 4 и 3 до их пересечения в точке k отрезки сk и dk измеренные в масштабе сил дают величины усилий S₄ =4,6∙5 = 23 кН и S₃ = 5,9·5 = 29,5 кН. Определим знаки усилий. Направление усилия S₁ известно: т.к. стержень сжат, то оно направлено вниз к узлу. Поставим стрелки на отрезках dk и ck так, чтобы они были направлены в одну сторону и образовывали замкнутый треугольник сdk.

Перенесем направление усилия S₃ на стержень 3 (Рис. 1.3 а), оно направлено от узла, т.е. стержень 3 растянут. Усилие S₄ при таком переносе направлено к узлу, т.е. стержень 4 сжат.

5. Вырезаем узел D (Рис. 1.3. г). Обход узла выбираем по часовой стрелке начиная от известной силы F^/

Из точки n проводим отрезок nо параллельный и равный в принятом масштабе силе F. Из точки о проводим отрезок оf параллельный и равный известному усилию S₄ из точек n и f проводим линии параллельные стержням 8 и 5 до их пересечения в точке m. Отрезки fm и nm измеренные в масштабе сил дадут величины усилий S₅ =3·5 =15 кН и S₈ = 4,6·5 = 23 кН.

Все стрелки на силовом многоугольнике nofm расставлены против часовой стрелки, согласно поставленных направлений силы F и известного усилия S₄ . Перенесем направление усилия S₈ на стержень 8, оно будет направлено к узлу, значит стержень сжат. При переносе направления усилия S₅ на стержень 5, оно будет направлено от узла – стержень 5 растянут.

6. Вырезаем узел С (Рис. 1.3. д). Из произвольной точки г проводим отрезок гб параллельный, равный и того же направления в принятом масштабе сил известному усилию S₅, таким же способом из точки δ проводим отрезок δm равный и параллельный усилию S₃. с направлением от узла. Т.к. усилие в стержне 2 равно нулю, тогда через точки ж и г проводим линии параллельные стержням 6 и 7 до их пересечения в точке f. Отрезки ж f и гf измеренные в масштабе сил дают величины усилий S₆ = 13,6·5= 68 кН, S₇ = 10·5 = 50 кН. Стрелки на отрезках жf и uf поставим так, чтобы они образовали вместе с усилием S₅ и S₃ замкнутый многоугольник сил т.е. против часовой стрелки. При переносе направлений усилий S₆ и S₇ на стержни 6 и 7 получим, что стержень S₆ – растянут, а стержень S₇ сжат, т.к. усилие S₆ направлено от узла, а усилие S₇ - к узлу.

Составим сравнительную таблицу усилий, найденных аналитическим и графическим способом.

Усилие (кН) в стержнях фермы.

 

Усилие	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	S8
Аналитическое решение	-15		29,3	-22,8		68,4	-50,2	-22,8
Графическое решение	-15		29,5	-23			-50	-23