смо с отказами определение вероятностей состояния

Математическая модель одноканальной однофазной

остояние однофазной СМО с абсолютно надежными обслужи­вающими приборами в любой момент времени полностью опреде­ляется числом заявок k, находящихся в ней. Действительно, если k£п, тоk заявок находятся на обслуживании, очереди нет; k приборов заняты обслуживанием заявок, а n – k приборов свободны. Если k > n, то все приборы заняты (n заявок обслуживается), а k–п заявок находится в очереди.

Величина k может принимать значения k=0, 1, 2, . . ., N, где N = n+m, причем для СМО с отказами m=0, а для систем с неограниченной очередью т и N ®¥.

Увеличение числа заявок в системе (переход из состояния S_k в состояние S_k+1) происходит под воздействием потока заявок ин­тенсивности l, которая не зависит от k, то есть

l_k,k+1= l. (6.1)

Уменьшение числа заявок в системе (переход из состояния S_k в состояние S_k–1) происходит в общем случае под воздействием потока обслуживании интенсивности m и потока уходов заявок из очереди (системы) интенсивности v, причем l_k,k+1= f(k, n, m, v), а вид этой функции определяется типом СМО.

Из сказанного следует, что однофазной СМО соответствует граф состояний (рис. 6.3), вершины которого (S₀, S₁, S₂, . . .) образуют последовательную цепочку, и любые две соседние вершины соединены двумя встречно-направленными дугами, а процесс ее функционирования представляет собой так называемый процесс «гибели и размножения» (уменьшение и увеличение числа заявок).

Рис. 6.3. Схема однофазной СМО

смо с отказами определение вероятностей состояния

- Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характери­зуемая показательным распределением как длительностей интерва­лов между поступлениями требований, так и длительностей обслу­живания. При этом плотность распределения длительностей интер­валов между поступлениями требований имеет вид

где λ — интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).
Плотность распределения длительностей обслуживания:
,
где – интенсивность обслуживания, t_об – среднее время обслуживания одного клиента.

- В подавляющем большинстве случаев на практике система массового обслуживания является многоканальными, то есть параллельно могут обслуживаться несколько заявок, и, следовательно,модели с обслуживающими каналами (где число каналов обслуживания n>1) представляют несомненный интерес.
Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/μ. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, при чем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, починенной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышение (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.
Стационарное решение системы имеет вид:
;
где , .
Формулы для вычисления вероятностей называются формулами Эрланга.