Пространственная система сил

7.1. Статические инварианты. Динамический винт

Ранее было установлено, что главный вектор системы сил, как угодно расположенных в пространстве,

(7.1) не изменяется при перемене центра приведения. Главный же момент при этом не изменяется и для нового центра приведения определяется формулой

, (7.2) где и – главные моменты относительно центров приведения О и . Второе слагаемое в правой части формулы (7.2) представляет собой момент главного вектора, приложенного в центре приведения О, относительно нового центра приведения .

Умножим скалярно обе части равенства (7.2) на вектор :

.

Так как вектор перпендикулярен вектору , то их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,

, (7.3) т.е. скалярное произведение главного вектора на главный момент не зависит от центра приведения.

Таким образом, при перемене центра приведения не изменяются главный вектор и скалярное произведение главного вектора на главный момент. Говорят, что эти величины инвариантны относительно выбора центра приведения.

Первым статическим инвариантом называется главный вектор . В более узком смысле этого слова под первым инвариантом понимают квадрат модуля главного вектора

Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамическим винтом или динамой. Так как плоскость действия пары перпендикулярна моменту пары, то динамический винт представляет собой совокупность силы и пары сил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе. Различают правый и левый динамические винты. На рис. показан правый динамический винт, составленный из силы , равной главному вектору системы, и пары сил с моментом , равным главному моменту; на рис. показан левый винт, составленный из тех же элементов.

Может возникнуть вопрос, в каких случаях данную систему сил можно привести к динаме? На этот вопрос отвечает следующая теорема:

Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему сил можно привести к динаме. На этот вопрос отвечает следующая теорема:

Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему можно привести к динаме.

Пусть в произвольной точке О система приведена к силе, равной главному вектору , и паре сил с моментом, равным главному моменту . Так как по условию теоремы , то оба вектора, и , не равны нулю и они не перпендикулярны между собой. Разложим главный момент на две составляющие: одну направим по главному вектору и другую направим перпендикулярно главному вектору. Составляющая представляет собой момент пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной вектору . Выберем силы и , составляющие эту пару, равными по модулю главному вектору и приложим силу к центру приведения. Система сил ( , ), как эквивалентная нулю, может быть отброшена. Так как момент – вектор свободный, то его можно перенести из точки О в точку . Таким образом, заданная система сил приведена в точке к силе и паре сил с моментом , расположенной в плоскости, перпендикулярной силе, т.е. мы получили динамический винт.

Из формулы (7.6) видно, что положительному второму инварианту отвечает правый динамический винт, а отрицательному второму инварианту – левый динамический винт.

Точка не единственная, где система сил приводится к динаме. В самом деле, силу можно переносить вдоль линии ее действия, момент же пары сил есть вектор свободный, следовательно, система сил может быть приведена к динаме во всех точках прямой, проходящей через точку и являющейся линией действия силы . Эта прямая называется центральной осью системы сил. Найдем теперь уравнение центральной оси.

Пусть – точка центральной оси. Тогда для этой точки главный вектор и главный момент должны быть коллинеарны друг другу. На основании формулы (7.2) главный момент для точки можно записать в виде

.

Условие коллинеарности главного вектора и главного момента для точки записывается следующим образом:

,

где – параметр винта, имеющий размерность длины.

Таким образом,

. (7.7)

Пусть и – соответственно проекции главного вектора и главного момента на оси х, у и z; тогда

Пусть координаты какой-либо точки центральной оси будут х, у, z, следовательно,

Подставляя соответствующие выражения в соотношение (7.7), получим

Приравнивая коэффициенты при единичных векторах , и , имеем

,

,

.

Следовательно,

(7.8) Это и есть искомые уравнения центральной оси.