Элементы теории погрешностей
Определение 1.1.Приближенным значением некоторой величины a называется число аp, которое незначительно отличатся от точного значения этой величины. Пусть а — точное значение некоторой величины, а аp — ее приближенное значение. Определение 1.1. Абсолютной погрешностью D приближенного значения называется модуль разности между точным и приближенным значениями этой величины: D = |a – ap| (1.2)
Пример 1.1. Если a = 20,25 и ap = 20, то абсолютная погрешность равна D = 0,25. Определение 1.2.Относительной погрешностью приближенной величины аp называется отношение абсолютной погрешности приближенной величины к её точному значению:
(1.3)
Это равенство можно записать в другой форме
D = |a|δ. (1.4) Пример 1.2. Пусть a = 20,25 и ap = 20. Тогда относительная погрешность равна δ = 0,25/20 = 0,125. На практике, как правило, точное значение величины неизвестно. Поэтому, вместо теоретических понятий абсолютной и относительной погрешностей используют практические понятия предельной абсолютной погрешности и предельной относительной погрешности [7]. Определение 1.3.Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число Da, не меньшее абсолютной погрешности этого числа D = |a – ap| ≤ Da (1.5)
Неравенство (1.5) позволяет для точного значения величины получить оценку ap – Da ≤ a ≤ ap + Da (1.6)
Часто неравенства (1.6) записывают в другой форме
a = ap ± Da = ap(1 ± δa) (1.7)
На практике в качестве предельной абсолютной погрешности выбирают наименьшее из чисел Da, удовлетворяющих неравенству (1.5), однако это не всегда возможно. Пример 1.3.Оценить предельную абсолютную погрешность приближенного значения ap = 2,72 числа e, если известно, что e = 2,718281828…. Решение. Очевидно, что |ap – e| < 0,01. Следовательно, Da = 0,01. Также справедливо неравенство |ap – e| = |2,720 – 2,71828…| < 0,002. Получаем другое значение предельной абсолютной погрешности Da = 0,002. Ясно, что следует выбрать наименьшее из найденных значений предельной погрешности, т.к. это позволит сузить диапазон (1.5), в котором находится точное значение изучаемой величины. С другой стороны, погрешность Da = 0,01 показывает, что приближенное число 2,72 содержит верные цифры. Значение Da = 0,002 не дает возможности утверждать, что число 2,720 содержит четыре верные цифры. Определение 1.4.Предельной относительной погрешностью δa данного приближенного числа называется любое число, не меньшее относительной погрешности этого числа: δ ≤ δa (1.8) Так как справедливо неравенство
,
то можно считать, что предельные абсолютная и относительная погрешности связаны формулой или Da = |a|δa. (1.9) Пример 1.4.Пусть длина бруска измерена сантиметровой линейкой и получено приближенное значение ap = 251 см. Найти предельную относительную погрешность δa. Решение. Так как сантиметровая линейка не содержит делений меньше сантиметра, то предельная абсолютная погрешность равна Da = 1 см, а точное значение a длины бруска находится в диапазоне 250 см ≤ a ≤ 252 см. Хотя точное значение a неизвестно, можно для относительной погрешности записать неравенство .
То есть, можно считать, что δa = 0,004. Если абсолютная погрешность Da значительно меньше точного значения |a|, то относительную погрешность определяют приближенно как отношение абсолютной погрешности к приближенному значению:
, Da ≈ |ap|δa (1.10)
Часто в формуле (1.10) вместо знака «≈» используют знак точного равенства «=». Относительную погрешность иногда задают в процентах. Пример 1.5.Определить предельную относительную и абсолютную погрешности значения x = 125 ± 5%. Решение. Здесь δa = 5% = 0,05 и Da = 0,05∙125 = 6,25. В этом примере мы воспользовались формулой (1.10). Значащие цифры. Определение 1.5. Значащими цифрами в записи приближенного числа называются ─ все ненулевые цифры; ─ нули, содержащиеся между ненулевыми цифрами; ─ нули, являющиеся представителями сохраненных десятичных разрядов при округлении. В следующих примерах значащие цифры подчеркнуты: Пример 1.6. 2,305; 0,0357; 0,001123; 0,035299879 ≈ 0,035300. При округлении числа 0,035299879 до шести знаков после запятой получается число 0,035300, в котором последние два нуля являются значащими. Если отбросить эти нули, то полученное число 0,0353 не является равнозначным с числом 0,035300 приближенным значением числа 0,035299879, так как погрешности указанных приближенных чисел отличаются! Дадим определение понятию верная значащая цифра [7]. Определение 1.6.Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего n-ой значащей цифре, считая слева направо. Наряду с определением 1.6 иногда используется другое определение [7]: Определение 1.7.Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего n-ой значащей цифре. Пример 1.7.Определить верные цифры приближенного значения Решение. Очевидно, что |ap – e| = |2,721 – 2,71828…| < 0,003 < 0,005. Пример 1.8.Пусть x = 1,10253 ± 0,00009. Верными являются первые четыре значащие цифры, а цифры 5 и 3 не удовлетворяют определению. В широком смысле верными являются первые пять цифр. Пример 1.9. При записи следующих физических констант указаны три верные значащие цифры: а) гравитационная постоянная γ = 6,67∙10–11 Н∙м2/кг2; б) скорость света в вакууме C = 3,00∙108 м/c; в) постоянная Планка h = 6,63∙10–34 Дж∙c. Замечание.Термин «верные значащие цифры» нельзя понимать буквально. Например, современное опытное значение скорости света в вакууме составляет C = 2,997925∙108 м/c. Очевидно, что ни одна значащая цифра в примере 9, б) не совпадает с соответствующей точной цифрой, но абсолютная погрешность меньше половины разряда, соответствующего последней значащей цифре в записи 3,00∙108:
|3,00∙108 – 2,997925∙108| < 0,003∙108 < 0,01∙108/2 = 0,005∙108.
Правило округления чисел [7].Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры его, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом 1) если первая отброшенная цифра меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняют без изменения; 2) если первая отброшенная цифра больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу; 3) если первая отброшенная цифра равна 5, и среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу; 3а) если же первая из отброшенных цифр равна 5, и все отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры). Это правило гарантирует, что сохраненные значащие цифры числа являются верными в узком смысле, то есть погрешность округления не превосходит половины разряда, соответствующего последней оставленной значащей цифре. Правило четной цифры должно обеспечить компенсацию знаков ошибок. Пример 1.10.Приведем примеры округления до 4-х значащих цифр: а) 3,1415926 ≈ 3,142; Dp = |3,142 – 3,1415926| < 0,00041 < 0,0005; б) 1 256 410 ≈ 1 256 000; Dp = |1 256 000 – 1 256 410| < 500; в) 2,997925∙108 ≈ 2,998∙108; Dp = |2,998∙108 – 2,997925∙108| = Следующая теорема выявляет связь относительной погрешности числа с числом верных десятичных знаков [7]. Теорема 1.1. Если положительное приближенное число имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 101–n, деленной на первую значащую цифру αm:
δ ≤ 101–n/ αm. (1.11)
Формула (1.11) позволяет вычислить предельную относительную погрешность δa = 101–n/ αm (1.12) Пример 1.11. Найти относительную и абсолютную погрешности приближенных чисел а) 3,142 и б) 2,997925∙108. Решение. а) Здесь n = 4, αm = 3; Используем формулу (1.12) для оценки относительной погрешности: δa = 101–n/ αm = 0,001/3 ≈ 0,00033. Для определения абсолютной погрешности применим формулу (1.10): б) Аналогично предыдущему пункту вычислим: n = 7, αm = 2, δa = 101–n/ αm = 0,000001/2 = 0,0000005; Da ≈ |ap|δa = 2,997925∙108∙0,0000005 ≈ 150.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2206)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |