Погрешности арифметических операций
Приведем правила вычисления погрешности результата различных арифметических операций над приближенными числами [7]. Относительно алгебраической суммы u = x ± y можно утверждать следующее: Теорема 1.2.Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, т.е. Du =Dx + Dy (1.13) Из (1.13) следует, что предельная абсолютная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых. Т.е., если в состав суммы входят приближенные слагаемые с разными абсолютными погрешностями, то сохранять лишние значащие цифры в более точных не имеет смысла. Пример 1.12.Найти сумму приближенных чисел, все цифры в записи которых являются верными в широком смысле, и ее предельную абсолютную и относительную погрешности u = 0,259 + 45,12 + 1,0012. Решение.Предельные абсолютные погрешности слагаемых здесь равны соответственно 0,001; 0,01; 0,0001. Суммирование производим, руководствуясь следующим правилом [7]: 1) выделим наименее точные слагаемые (в нашем примере это второе слагаемое) и оставим их без изменения; 2) остальные числа округлим по образцу выделенных, оставляя один или два запасных знака; 3) сложим данные числа, учитывая все сохраненные знаки; 4) полученный результат округлим до точности наименее точных слагаемых. Имеем Du = 0,001 + 0,01 + 0,0001 = 0,0111; u = 0,259 + 45,12 + 1,0012 ≈ 0,26 + 45,12 +1,00 = 46,38 ± 0,01. Основной вклад в абсолютную погрешность результата здесь вносят предельные погрешности исходных данных, приведенные выше. Теорема 1.3.Есливсе слагаемые в сумме имеют один и тот же знак, то предельная относительная погрешность суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.
(1.14)
При вычислении разности двух приближенных чисел u = x – y ее абсолютная погрешность, согласно теореме 2, равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, т.е. Du =Dx + Dy, а предельная относительная погрешность равна
(1.15)
Из (1.15) следует, что если приближенные значения x и y близки, то предельная относительная погрешность будет очень большой. Пример 1.13.Найти разность x – y с тремя верными знаками, если Решение.Имеем 12,1254 – 12,128 = – 0,0026. Du = 0,0001 + 0,001 = 0,0011; δu = 0,0011/|–0,0026| = 0,42. δx = 0,0001/12,1254 ≈ 0,000008; δy = 0,001/12,128 ≈ 0,00008. Согласно этим результатам разность x – y имеет не более одной верной цифры и относительная погрешность очень велика по сравнению с относительными погрешностями операндов. В некоторых случаях удается избежать вычисления разности близких чисел с помощью преобразования выражения так, чтобы разность была исключена. Рассмотрим один из таких примеров, искусственно придуманный. Пример 1.14. Найти разность с тремя верными знаками. Решение. Умножим и разделим на сопряженное. Получим Если представляется сложным заменить вычитание близких приближенных чисел сложением, то следует поступать так: если известно, что при вычитании должно пропасть m первых значащих цифр, а в результате требуется сохранить верных n цифр, то тогда в уменьшаемом и вычитаемом следует сохранять m+n верных значащих цифр: . Теорема 1.4.Предельная относительная погрешность произведения
δu = δx + δy (1.16)
В частности, если u = kx, где k — точное число, имеем Du = |k|Dx, δu = δx. Пример 1.15.Определить произведение приближенных чисел x = 12,45и y = 2,13и число верных значащих цифр в нем, если все написанные цифры сомножителей — верные в узком смысле. Решение.По условию предельные абсолютные погрешности сомножителей равны Dx = Dy = 0,005; δx = 0,005/12,45 = 0,0004; δy = 0,005/2,13 = 0,0023. Тогда по теореме 1.4 имеем δu = δx + δy = 0,0004 + 0,0023 = 0,0027 ≈ 0,003. Вычислим произведение 12,45∙2,13 = 26,5185. Du = 26,5185∙0,003 ≈ 0,079 ≈ 0,08. Таким образом, результат имеет три верные значащие цифры в широком смысле и может быть записан в виде u = 26,5∙(1 ± 0,003). Теорема 1.5.Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя. Пример 1.16. Вычислить частное приближенных чисел x = 12,45и y = 2,13и число верных значащих цифр в нем, если все написанные цифры сомножителей — верные в узком смысле. Решение.Предельная относительная погрешность частного по теореме 1.5 равна δu ≈ 0,003. Вычислим частное 12,45:2,13 ≈ 5,84507.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2843)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |