Обработка результатов прямых равноточных измерений

Введение.

При любом измерении неизбежно возникают ошибки (погрешности измерений), приводящие к отклонению измеренного значения x от истинного значения измеряемой величины X. Поэтому при записи результата измерений или вычислений принципиально важна оценка точности полученного числа. В физическом эксперименте результат представляется в виде:

 

X = (54, 3 0, 2) м 0,7.

 

Такое представление означает, что истинное значение величины X с вероятностью 70% находится в диапазоне от 54,1 м до 54,5 м на числовой оси.

Цель настоящей лабораторной работы: научиться определять погрешность измерения. Иными словами, как, зная (доверительная вероятность), рассчитывать абсолютную погрешность или ошибку измерений Δx ( 0,2 м), определяющую диапазон значений на числовой оси (доверительный интервал), в котором лежит ожидаемое истинное значение измеряемой величины.

Вначале введём некоторые важные понятия и термины.

Абсолютная погрешность сама по себе ничего не говорит о точности измерения. Например, если абсолютная погрешность измерения напряжения ΔU = 20 мВ, то нельзя сказать, точным ли было измерение. Если напряжение равнялось 40 мВ, то очевидно измерение грубое. Если же напряжение было равно 220 В, то измерение можно считать точным. Чтобы охарактеризовать точность измерения, вводят относительную погрешность:

 

.

 

Если, δх=1 то измерение точное. Если это условие не выполняется, то измерение надо считать неточным.

Для введения основных понятий и в качестве иллюстрации рассмотрим простейшую лабораторную работу: «Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника». Из известной формулы периода колебаний математического маятника получаем выражение для вычисления ускорения свободного падения:

 

. (1)

 

Цель работы: измеряя длину нити маятника L и время одного полного колебания T, по формуле (1) определить ускорение свободного падения g. Измерения L и Т, сделанные при помощи приборов, называются прямыми измерениями. Ускорение свободного падения g рассчитывается по формуле (1). Такое измерение называется косвенным измерением.

Формула, по которой после подстановки результатов прямых измерений получают результат косвенного измерения, называется рабочей формулой. В нашем примере это формула (1). Она даёт связь между результатом косвенного измерения g и результатами прямых измерений L и T. Рабочая формула является исходной при выводе формулы для расчета погрешности косвенного измерения (см. ниже).

В нашей модельной работе, если делать измерения времени не для одного, а для N полных колебаний маятника, рабочая формула имела бы другой вид:

 

, (2)

 

где - время N полных колебаний маятника.

Ещё одно понятие - равноточные измерения. Равноточными называются измерения, выполненные в одинаковых условиях:неизменными должны оставаться объекты исследования, используемые приборы, условия и время проведения эксперимента.

 

Обработка результатов прямых равноточных измерений.

Погрешности прямых измерений, в зависимости от причин их вызывающих, делятся на случайные, систематические и промахи (грубые ошибки).

Промах. Промахом называется грубая погрешность, возникшая из-за невнимательности, непреднамеренного отклонения от стандартных условий эксперимента. Обычно в серии равноточных измерений промахи отчетливо видны. Их следует исключить и не учитывать при обработке результатов измерений.

Случайные ошибки. Под случайными ошибками понимают ошибки, связанные с неконтролируемыми изменениями условий равноточных опытов, приводящими к разбросу численных значений измеряемой величины. Если измеряемая величина может принимать непрерывные значения, то ее нельзя измерить абсолютно точно. В этом случае говорят, что результаты измерений носят случайный характер. Пусть - результаты n прямых равноточных измерений величины X. В серии равноточных экспериментов без учета систематической погрешности (см. ниже) полученные значения X находятся в окрестности истинного значения на числовой оси.

Отметим, что истинное значение может вообще не существовать. Во всяком случае, оно практически никогда не известно. Так, измеряя длину цилиндра, мы предполагаем, что это прямой цилиндр, с идеально параллельными друг другу торцами. Так как это может не соответствовать действительности, то об истинной длине цилиндра говорить не имеет смысла. Это же замечание относится к определению «истинной» длины нити, легко подвергающейся деформации растяжения. В дальнейшем будем предполагать, что истинное значение измеряемой величины существует.

Как следует из теории погрешностей [1], за наиболее вероятное значение измеряемой величины X обычно принимают ее среднее арифметическое значение, вычисленное по результатам n равноточных измерений:

, (3)

 

при этом n должно быть достаточно большим.

Отклонения измеренных значений от среднего носят случайный характер и подчиняются статистическим закономерностям. Как известно из опыта, для большого числа n равноточных измерений распределение случайных ошибок измерений подчиняется нормальному или «гауссовскому» закону. Т.е. ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений; при большом числе равноточных измерений ошибки одинаковой величины, но противоположного знака встречаются одинаково часто; малые ошибки более вероятны, чем большие.

Известно, что мерой осуществления случайного события А является его вероятность Р(А). Если в n однородных испытаниях событие А произошло k раз, то величина определяет относительную частоту появления этого события. Предел при равен вероятности события А:

 

.

 

Из определения вероятности следует, что . Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность достоверного события равна единице.

Обозначим за - вероятность того, что истинное значение Х не выйдет за границы так называемого доверительного интервала . Соответствующую этому доверительному интервалу вероятность

называют доверительной вероятностью или надежностью. Ширина доверительного интервала, равная 2 , связана с доверительной вероятностью . Очевидно, что с увеличением ширины доверительного интервала растет вероятность, что истинное значение Х попадет в этот интервал.

Задавая значение доверительной вероятности , рассчитывают

случайную погрешность и определяют, таким образом, доверительный интервал .

Случайная погрешность определяется по формуле:

(4)

 

называется средней квадратической погрешностью и вычисляется по формуле:

; (5)

 

величина называется коэффициентом Стьюдента и определяется по таблице для заданных значений и n [1] .

Табл. 1. Коэффициенты Стьюдента.

 

n
0,10	0,20	0,30	0,40	0.50	0,60	0,70	0,80	0,90	0,99
….	0,16 0,14 0,14 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13   0,13	0,33 0,29 0,28 0,27 0,27 0,27 0,26 0,26 0,26   0,26	0,51 0,45 0,42 0,41 0,41 0,40 0,40 0,40 0,40   0,39	0,73 0,62 0,58 0,57 0,56 0,55 0,55 0,54 0,54   0,53	1,00 0,82 0,77 0,74 0,73 0,72 0,71 0,71 0,70   0,68	1,38 1,06 0,98 0,94 0,92 0,90 0,90 0,89 0,88   0,85	2,0 1,3 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1   1,1	3,1 1,9 1,6 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4   1,3	6,3 2,9 2,4 2,1 2,0 1,9 1,9 1,9 1,8   1,7	63,7 9,9 5,8 4,6 4,0 3,7 3,5 3,4 3,3   2,7

 

Из табл.1 видно, что для определенного значения n увеличение доверительной вероятности сопровождается увеличением , а, следовательно, согласно (4), увеличением , т.е. доверительный интервал становится шире. Из табл.1 также видно, что при коэффициент Стьюдента слабо зависит от n. Обычно, число измерений , 0,7 и =1,2 .

Систематические ошибки.Систематические ошибки связаны с несовершенством методики измерений, с ограниченностью точности измерительных приборов, с особенностями объекта исследования. Как правило, эти ошибки могут быть учтены.

Так, например, измерение силы тока и напряжения для определения сопротивления проводника по закону Ома сопровождается нагреванием последнего, т.е. изменением сопротивления исследуемого объекта. Для учета возникающей при этом систематической погрешности следует ввести в расчетную формулу соответствующую поправку и добавить к измерениям силы тока и напряжения измерение температуры. Более простой способ – включение тока на короткий промежуток времени для исключения возможности заметного нагревания проводника.

Отметим, что каких-либо универсальных правил учета систематических погрешностей, связанных с методикой измерений, не существует. В каждом случае это вопрос отдельного анализа и критического отношения к эксперименту.

Систематические ошибки, связанные с ограниченной точностью приборов, подлежат учету.

Характеристики электроизмерительных приборов:

Предел измерения – максимальное значение измеряемой данным прибором величины. У одного прибора может быть несколько пределов измерения.

Цена деления – для равномерной шкалы это величина, равная пределу измерения прибора, деленному на число делений шкалы.

Класс точности– число, равное максимальной относительной погрешности в процентах, которую вносит прибор при измерении на пределе используемой шкалы. Это число определяет максимальную абсолютную погрешность измерения данным прибором. Класс точности электроизмерительных приборов, как правило, указан на лицевой части прибора в виде отдельного числа: 0.2 или 0.5 или 1.0 или 1.5 и т.д.

Рассмотрим миллиамперметр, предел измерения которого равен 150 мА;

число делений шкалы 30; цена деления 150:30=5 мА; класс точности 2.0.

Максимальная абсолютная погрешность (приборная погрешность):

 

мА

 

Пример 1: отклонению стрелки или светового индикатора на 5 делений соответствует показание прибора мА. Результат измерения: . Относительная погрешность измерения:

.

Пример 2: отклонению стрелки или светового индикатора на 30 делений соответствует показание прибора . Результат измерения: . Относительная погрешность измерения:

Приведенные два примера иллюстрируют как, зная класс точности прибора и абсолютную погрешность, определить относительную погрешность измерения. Из этих же примеров видно, что наименьшую относительную погрешность прибор вносит при измерении на пределе используемой шкалы (пример 2).

В случае отсутствия класса точности следует исходить из паспортных данных прибора. Обычно, в качестве максимальной абсолютной погрешности берут целое или 0,5 цены деления шкалы прибора (секундомер, линейка, нониус микрометра, штангенциркуля и т.п.).

Вероятность, с которой истинное значение величины X не выйдет за границы интервала , близка к единице (полагаем при этом, что случайная погрешность не играет роли, и вся погрешность определяется погрешностью прибора). Для удобства сложения приборной и случайной погрешностей доверительную вероятность, для которой вычисляется случайная погрешность, в этом случае желательно брать близкой к единице. Например, α = 0,95.

Для окончательной записи результата прямых равноточных измерений вычисляется погрешность измерений, учитывающая как случайную, так и систематическую погрешности измерения. В теории ошибок [2] суммарную погрешность прямых измерений определяют по формуле:

 

. (6)

 

Если одна из погрешностей или превышает другую более, чем в 3 раза, меньшей погрешностью можно пренебречь. Например: =0,1,

=0,5. Вычислим погрешность :

В приведенном примере погрешность определяется фактически только приборной погрешностью. Это тот случай, когда число измерений n может быть уменьшено, а для получения большей точности результата следует сменить измерительный прибор на более точный.

В другом случае, когда =0,5 > =0,1 , также равно 0,51. И для получения большей точности результата необходимо увеличить число равноточных измерений n .

Для иллюстрации выше изложенного порядка определения погрешности прямых измерений вернемся к виртуальной лабораторной работе «Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника». Длину нити маятника L измеряем 5 раз при помощи обычной ученической линейки, для которой .

. Время одного полного колебания T измеряем 5 раз при помощи секундомера, для которого = 0,2 с. . В таблицах 2 и 3 приведены результаты равноточных измерений L и T , вычислены средние значения и суммы квадратов отклонения результатов измерений от их среднего значения для последующего расчета случайной погрешности.

Табл.2

№	см	см
	99,8	0,2	4
	100,1	0,1	1
	100,2	0,2	4
	99,9	0,1	1
	100,1	0,1	1

 

см

Табл.3

№	c	c
	2,0	0,0	0
	1,8	0,2	4
	1,8	0,2	4
	2,2	0,2	4
	2,0	0,0

 

с

Следует отметить, что среднее значение измеряемой величины (формула 3) записывают с точностью, с которой получены результаты прямых измерений. Для – с точностью до десятых сантиметра:

 

см.

 

Для - с точностью до десятых секунды:

 

с.

 

В этих примерах выражение (3) для более удобного вычисления используется в виде:

, (7)

где - произвольное число, близкое к , и называемое ложным нулем.

Из формул (4) и (5) получим формулу для вычисления квадрата случайной погрешности:

 

. (8)

 

 

В нашем примере для , 0,7 и =1,2 (см. выше) квадраты случайных погрешностей будут равны:

 

;

 

 

Заметим, что при расчетах погрешностей вычисления производят, сохраняя не более 2-х значащих цифр. Более точные вычисления не имеют смысла, т.к. в окончательном результате в погрешности сохраняется только одна значащая цифра.

Наконец, с учетом случайной и систематической погрешностей по формуле (6) определим погрешности прямых равноточных измерений:

 

.

.

Как видно из расчетов, в случае длины преобладающей была случайная погрешность. Поэтому с вероятностью 70% значение длины нити маятника находится в пределах от 99,9 до 100,1см. В случае периода преобладающей явилась приборная погрешность. Поэтому с вероятностью большей 70% и близкой к 1 время одного полного колебания находится в пределах от 1,8 до 2,2 с.

Результаты прямых равноточных измерений после округления принимают вид:

α ≈ 0,7,

α ≈ 1.

В данном примере при измерении величины L оказалась преобладающей случайная погрешность, а при расчете величины T - систематическая погрешность, поэтому для них указаны разные доверительные вероятности. В тех случаях, когда эти погрешности сравнимы между собой, рекомендуется указывать наименьшую из заданных для них доверительных вероятностей. В лаборатории физики это будет доверительная вероятность, выбранная для случайной погрешности.

Подставляя результаты прямых измерений в формулу (1), получаем величину ускорения свободного падения g:

. (9)

 

Принимая во внимание, что во всех работах учебной лаборатории относительная погрешность косвенного измерения не бывает меньше 1%, для предварительной записи результата косвенного измерения достаточно использовать не более 3-х значащих цифр.

Точность окончательной записи результата (число значащих цифр) определяется погрешностью косвенного измерения, вычислению которой посвящен следующий раздел данного пособия.