Определение погрешности косвенного измерения

Формулы вычисления погрешностей косвенных измерений основаны на представлениях дифференциального исчисления.

Пусть зависимость величины Y от измеряемой величины Z имеет простой вид: .

Здесь и - постоянные, значения которых известны. Если z увеличить или уменьшить на некоторое число , то соответственно изменится на :

Если - погрешность измеренной величины Z, то соответственно будет погрешностью вычисляемой величины Y.

Получим формулу абсолютной погрешности в общем случае функции одной переменной . Пусть график этой функции имеет вид, показанный на рис.1. Точному значению аргумента z₀ соответствует точное значение функцииy₀ = f(z₀).

Измеренное значение аргумента отличается от точного значения аргумента на величину Δz вследствие ошибок измерений. Значение функции будет отличаться от точного на величину Δy.

Из геометрического смысла производной как тангенса угла наклона касательной к кривой в данной точке (рис. 1) следует:

. (10)

Формула для относительной погрешности косвенного измерения в случае функции одной переменной будет иметь вид:
. (11)

Учитывая, что дифференциал функции равен , получим

(12)

Если косвенное измерение представляет собой функцию m переменных , то погрешность косвенного измерения будет зависеть от погрешностей прямых измерений . Частную погрешность, связанную с ошибкой измерения аргумента , обозначим . Она составляет приращение функции за счет приращения при условии, что все остальные аргументы неизменны. Таким образом, частную абсолютную погрешность запишем согласно (10) в следующем виде:

(13)

Таким образом, чтобы найти частную погрешность косвенного измерения , надо, согласно (13), частную производную умножить на погрешность прямого измерения . При вычислении частной производной функции по остальные аргументы считаются постоянными.

Результирующая абсолютная погрешность косвенного измерения определяется по формуле, в которую входят квадраты частных погрешностей

косвенного измерения [1]:

или с учетом (13)

(14)

Относительная погрешность косвенного измерения определяется по формуле:

Или с учетом (11) и (12)

. (15)

Пользуясь (14) и (15), находят одну из погрешностей, абсолютную или относительную, в зависимости от удобства вычислений. Так, например, если рабочая формула имеет вид произведения, отношения измеряемых величин, ее легко логарифмировать и по формуле (15) определить относительную погрешность косвенного измерения. Затем абсолютную погрешность вычислить по формуле (16):

. (16)

Для иллюстрации вышеизложенного порядка определения погрешности косвенных измерений вернемся к виртуальной лабораторной работе «Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника».

Рабочая формула (1) имеет вид отношения измеряемых величин:

.

Поэтому начнем с определения относительной погрешности. Для этого прологарифмируем данное выражение, а затем вычислим частные производные :

; ; .

Подстановка в формулу (15) приводит к формуле относительной погрешности косвенного измерения:

(17)

После подстановка результатов прямых измерений

{ ; } в (17) получаем:

(18)

Для вычисления абсолютной погрешности используем выражение (16) и ранее вычисленное значение (9) ускорения свободного падения g:

.

Результат вычисления абсолютной погрешности округляем до одной значащей цифры. Вычисленное значение абсолютной погрешности определяет точность записи окончательного результата:

, α ≈ 1. (19)

При этом доверительная вероятность определяется доверительной вероятностью тех из прямых измерений, которые внесли решающий вклад в погрешность косвенного измерения. В данном случае это измерения периода.

Таким образом, с вероятностью близкой к 1 величина g лежит в пределах от 8 до 12 .

Для получения более точного значения ускорения свободного падения g необходимо совершенствовать методику измерений. С этой целью надо уменьшить относительную погрешность , которая в основном, как следует из формулы (18), определяется погрешностью измерения времени.

Для этого надо измерять время не одного полного колебания, а, например, 10-ти полных колебаний. Тогда, как следует из (2), формула относительной погрешности примет вид:

. (20)

В табл.4 представлены результаты измерения времени для N = 10

полных колебаний маятника.

Табл.4

№	τi, , с		, с2
	20,4	0,4	16 10-2
	19,8	0,2	4 10-2
	20,4	0,4	16 10-2
	19,8	0,2	4 10-2
	19,6	0,4	16 10-2

; .

Проведя расчет по формуле (8) (как и в случае измерения периода возьмем α = 0,7), получаем

.

Полная погрешность измерения времени

.

Здесь случайной погрешности соответствует доверительная вероятность α = 0,7, а приборной погрешности соответствует доверительная вероятность, близкая к 1. В данном случае случайная и приборная погрешности оказались сопоставимы между собой. В такой ситуации берется наименьшая из доверительных вероятностей. Следовательно, для полной погрешности следует взять α = 0,7.

Для величины L возьмем результаты измерений из табл.2. Подставляя результаты прямых измерений в формулу (20), найдем относительную погрешность косвенного измерения:

.

По формуле (2) вычислим значение косвенно измеряемой величины:

.

Далее вычислим абсолютную погрешность:

.

Окончательный результат записывается в виде:

; ; .

В этом примере показана роль формулы относительной погрешности в анализе возможных направлений совершенствования методики измерений.