ВЫЧИСЛЕНИЯ И ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ, ПОНЯТИЕ О ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.1

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

ИЗМЕРИТЬкакую-либо величину – это значит сравнить ее с некоторой однородной величиной, принимаемой за единичную. Результаты измерений – совокупность числовых значений физических величин. Каждое числовое значение мы получаем, мысленно пользуясь формулой /А = ХВ/, где А – измеряемая величина; Х – числовое значение; В – единица измерения.

Единицы измерения выбираются произвольно, но так, чтобы ими удобно было пользоваться в процессе опыта. Это могут быть необязательно основные единицы системы СИ – метр, килограммы, секунда, кельвин, ампер, моль, кандела. При регистрации данных могут быть использованы дольные величины – миллиметр, грамм, киломоль, миллиампер и т.д., но окончательный результат, получаемый путем вычислений, необходимо представить и записать в единицах системы СИ.

Различают два вида измерений.

ПРЯМЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ, в процессе которых с помощью приборов непосредственно получают значение физической величины. Например, измерение линейных размеров с помощью линейки, микрометра или штангенциркуля, измерение массы тела путем взвешивания, измерения промежутка времени секундомером, измерение скорости движения по спидометру, измерение силы с помощью динамометра и т.д.

КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ, когда неизвестную величину находят расчетным путем по определенной формуле, в которую входит ряд других величин, определяемых путем прямых измерений. Например, величину ускорения а при равноускоренном движении можно найти расчетом по формуле

а = 2h/t²

где путь h и время движения t определяется в ходе прямых измерений.

Следует подчеркнуть, что в ряде случаев одна и та же величина может быть определена как в ходе прямых измерений, так и путем косвенных измерений. Например, скорость – по спидометру или с помощью расчета по формуле V = S/T; плотность жидкости – с помощью ареометра или расчетом по формуле p = m/V. Косвенные измерения иногда целесообразно заменить прямыми измерениями, но для этого должны быть разработаны методики и специальные измерительные приборы.

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ

В процессе любого измерения невозможно получить абсолютно точное значение физической величины. Надо помнить, что всякое измерение сопровождается погрешностью. Погрешности зависят от многих факторов: от вида измерительного инструмента, его настройки и износа, вида расчетных формул и соответствия их тому, что наблюдается в опыте, от умения экспериментатора и т.д. Экспериментатор, в нашем случае студент, провел ряд измерений, получил ряд значений неизвестной физической величины: Х₁,Х₂,…,Х_n. Как сопоставить эти значения с истинным значением Х_ист? Истинное значение физической величины не знает никто, если бы это было не так, то процесс измерений был бы лишен смысла. На практике за истинное значение принимают предел, к которому стремится значение среднего арифметического при увеличении числа измерений

где (n) – среднее арифметическое значение физической величины,

Разности |X_i - X_ист | характеризуют абсолютные погрешности отдельного измерения . Эти значения показывают, как далеко отстоит результат данного измерения от центра группирования. Следует ясно представлять, что даже значительно увеличивая число измерений (а это процесс трудоемкий и длительный), экспериментатор не в состоянии точно определить истинное значение измеряемой величины, он может указать только наиболее вероятное значение и указать погрешности измерения. Другими словами, мы сможем определить диапазон, в котором находится истинное значение измеряемой величины:

-

здесь - среднее арифметическое значение погрешности измерения.

Различают три группы погрешностей измерений:

- промахи;

- систематические;

- случайные.

Промахи – погрешности, связанные с грубым просчетом в работе. Причиной промахов часто являются небрежность отсчета по прибором, путаница шкал приборов, похожих цифр (3 и 8, 7 и 1), постановка запятой не в том месте, резкие изменения условий эксперимента (например, возникновение кратковременного магнитного поля, не отмеченного в эксперименте) и т.д. Промахи чаще встречаются у малоопытных и невнимательных экспериментаторов. Путем правильной обработки и анализа опытных данных промахи могут быть обнаружены и исключены из ряда результатов измерений.

Систематические погрешности – это погрешности, возникающие в результате действия отдельных факторов определенным образом при повторении одних и тех же измерений. Эти погрешности могут быть вызваны несовершенством приборов (например, уход «0» отсчета, грубые шкалы, трение в подвижных частях), а так же несовершенством методики расчета величины при косвенных измерениях впоследствии незнания теории того или иного явления. Систематические погрешности носят знакопостоянный характер, они могут быть частично учтены и устранены путем проверки и замены устаревших приборов, совершенствования методики проведения эксперимента и разработки более полной и надежной теории явления.

Случайные погрешности – погрешности, возникающие в результате воздействия большого числа различных факторов, действующих по-разному в серии одинаковых экспериментов. Эти факторы имеют различную физическую природу, и в каждом опыте их влияние может быть разным на конечный результат. Так, например, при стрельбе партии снарядов из орудия, установленного строго под одним углом к горизонту, получают эллипс рассеяния для точек падения снарядов. Отклонения от центра рассеяния вызваны многими факторами (погрешности массы снаряда. массы пороха, погрешности диаметра гильзы и снаряда, погрешности формы и качества обработки поверхности снаряда, влияния ветра в зависимости от его скорости и направления, температуры окружающего воздуха и т.д.). Случайные погрешности носят знакопеременный характер, они подчиняются определенному закону распределения, их можно учесть посредством определенной математической обработки результатов измерения, но устранить случайные погрешности полностью нельзя.

Систематическая погрешность – измеренное значение всегда больше (меньше) истинного значения.

Случайная погрешность – измеренные значения группируются вблизи истинного значения.

Промахи – измеренное значение далеко отстает от истинного значения.

Рис.

Х _ист

х₁

х₂

х₃

Х _ист

х₁

х₂

х₃

х₄

Х _ист

х_пр

х₁

х₂

х₃

Таким образом, результат каждого измерения содержит систематическую и случайную погрешности. Задача экспериментатора состоит в том, чтобы эти величины корректно оценить.

ВЫЧИСЛЕНИЯ И ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ, ПОНЯТИЕ О ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Ознакомившись с видами погрешностей, которые встречаются при измерениях физических величин, покажем на конкретном примере, какова должна быть последовательность действий от проведения опыта до получения конкретного результата. Пусть дано задание определить плотность материала металлического цилиндра. Плотность, как известно, равна: p = m/V. Объем цилиндра вычисляем по формуле:

рабочая формула для нахождения плотности в данном конкретном случае имеет вид:

Таким образом, для определения плотности необходимо провести прямые измерения величин m, D, l, а затем по формуле рассчитать значение плотности цилиндра. Число измерений не должно быть очень большим, минимальное число измерений равно 3. Обычно проводят от 3 – 7 измерений. В нашем случае диаметр D цилиндра определяли с помощью микрометра, длину l - штангенциркулем, а массу – взвешивали на аналитических весах. Результаты измерений занесены в таблицу.

Вид таблицы должен быть заранее продуман и занесен в бланк лабораторной работы (табл. 1).

Таблица 1

Таблица опытных и расчетных измерений