Случай двух исходных данных

Пусть a, b – исходные данные, известные приближенно:

НГ(а) ≤ а ≤ ВГ(а),

НГ(b) ≤ b ≤ ВГ(b)

Если результат у = f(a,b) монотонно зависит от своих аргументов, то крайние его значения достигаются при некоторых комбинациях граничных значений исходных данных.

В общем случае следует провести 2*2 = 4 вычислений и выбрать из них пару: наибольший (ВГ(у)) и наименьший (НГ(у)) результаты. В случае трёх исходных данных рассматривается 2³ = 8 расчётов и т.д. задача упрощается, если из её постановки ясен характер зависимости: рост или убывание хотя бы по одному аргументу.

Пример.

Найти высоту горба воды h над поверхностью озера шириной L, если радиус Земли равен R. Оценить погрешность при L = 1.52 ± 0.01 км R = 6370 ± 10 км.

Легко убедиться, что h – это высота от хорды до окружности h . Для устранения ошибок округления при вычитании очень близких чисел R и умножим и разделим h на сопряжённое выражение .

Получим формулу

Проведём некоторые предварительные расчёты по длинной формуле. Выясним, как зависит высота h от L и R. Зафиксируем R и вычислим f(L₁, R) и f(L₂,R).

f(1.52, 6370)=4.5337519*10^-5

f(1.53, 6370)=4.5936028*10^-5.

Видно, что h возрастает с ростом L .

Исследуем зависимости h от R. Зафиксируем L и вычислим f(L, R₁) и f(L,R₂).

f(1.53, 6370)=4.5936028*10^-5

f(1.53, 6380)=4.5864028*10^-5

Значит с возрастанием R убывает h.

Тогда:

ВГ(h)=f (ВГ(L), НГ(R)),

ВГ(h)=f (НГ(L), ВГ(R)),

Найдём границы h:

ВГ(h)=f (1.53, 6360)=4.6008254*10^-5,

НГ(h)=f (1.51, 6380)=4.4672805*10^-5.

Видно, что различие во второй цифре уже существенно. Округляем: ВГ(h) = 4.7 * 10^-5, НГ(h) = 4.4 * 10^-5, Dh = 0,15 * 10^-5. Можно принять, округлив с избытком (граница погрешности!) Dh = 0.2 * 10^-5. Таким образом,

.

Для случая многих исходных данных близкой точности способ границ может приводить к большому промежутку неопределённости [НГ(y), ВГ(y)]. Причина в том, что этот способ ориентирует на «худшую комбинацию погрешностей, на «сложение источников. Погрешности в данных часто имеют случайный характер, и значения данных a, b, c,… , близкие к средним более вероятны, чем крайние. Ещё менее вероятна комбинация крайних значений нескольких данных. Потому способ границ даёт гарантированные границы результата, но ценой, быть может, их большего размаха.

Контрольные вопросы.

1. Каковы источники возникновения погрешностей?

2. Дайте определение абсолютной и относительной погрешности числа.

3. Является ли погрешность приближенным числом?

4. Являются ли границы приближенно известной величины точными величинами?

5. Укажите способы округления чисел, их применение и смысл.

6. Какие цифры приближенного числа называются верными?

7. Почему границы величины округляются «врозь»?

8. Как оптимально выбрать границу погрешности y и оценить y, если известны НГ(у) и ВГ(у)?

9. Сколько (минимум) расчетов по способу границ надо выполнить для оценки границ результата?

10. Почему не стоит округлять первый результат до получения второго? Чем они отличаются?

11. Как использовать знание о свойствах зависимости результата от нескольких данных для сокращения числа расчётов?

12. Каковы недостатки способа границ в оценке погрешности при расчёте по формуле?