Оценка погрешности по способу границ
Источники погрешности при решении задач на Э В М
Анализ погрешностей является неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи. На общую погрешность задачи влияет целый ряд факторов. Отметим основные из них, рассмотрев общий ход решения задачи – от построения математической модели до производства вычислений. Пусть R – точное значение результата решения некоторой задачи. Из-за несоответствия построенной математической модели реальной ситуации, а также по причине неточности исходных данных вместо R будет получен результат, который обозначим R1. Образовавшаяся таким образом погрешность ε1 = R – R1 уже не может быть устранена в ходе последующих вычислений (так называемая неустранимая погрешность). Приступив к решению задачи в рамках математической модели, мы избираем приближенный (например, численный) метод и, еще не приступив к вычислениям, допускаем новую погрешность, приводящую к получению результата R2 (вместо R1). Погрешность ε2 = R2 – R1 называют погрешностью метода. Действия над числами вносят дополнительную погрешность. Например, если складывать два числа с одинаковыми погрешностями, то погрешность суммы будет, вообще говоря, больше погрешности каждого из слагаемых. Это обстоятельство, а также неизбежность округлений (в случае использования ЭВМ принудительное округление диктуется конечностью разрядной сетки машины) приводят к получению результата R3, отличающегося от R2 на величину вычислительной погрешности ε3 = R3 – R2. Полная погрешность ε, очевидно, получается как сумма всех погрешностей: ε = R - R3 = (R – R1) + (R1 - R2) + (R2 – R3) = ε1 +ε2 +ε3.
При решении конкретных задач те или иные виды погрешностей могут отсутствовать или незначительно влиять на окончательный результат. Тем не менее, для исчерпывающего представления о точности окончательного результата в каждом случае необходим полный анализ погрешностей всех видов. Это в полной мере относится и к неустранимой погрешности – погрешности математической модели. Располагая несовершенной математической моделью, вычислитель должен каким-то способом составить представление о величине неустранимой погрешности. Понятно, что в условиях слишком грубой модели не имеет смысла проводить утонченный анализ вычислительных ошибок. Отсюда следует, что оценка неустранимой погрешности может послужить веским доводом для снижения требований к точности последующих вычислений, что, в свою очередь, может сделать их менее трудоемкими.
Основные понятия теории погрешностей
Пусть x – точное значение некоторой величины, a — наилучшее из известных приближений. В этом случае ошибка (или погрешность) приближения х определяется разностью x - a. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают абсолютную величину ошибки:
которую называют абсолютной погрешностьювеличины x. Кроме абсолютной погрешности часто используется относительная погрешность, которая определяется как отношение = , Относительную погрешность обычно выражают в процентах. Приведённые выражения для ea и da практически не могут быть использованы, так как истинное значение величины x неизвестно. Поэтому для оценки точности приближённых чисел находят предельную абсолютную погрешность Da, являющуюся верхней Da ³ оценкой | |. Это значение определяется неоднозначно. Обычно стремятся указать число, наименьшее из возможных. Если в приведённом выше выражении для относительной погрешности заменить абсолютную погрешность на предельную, то получим соотношение, определяющее предельную относительную погрешность. = Говоря в дальнейшем о погрешности приближённых величин, будем иметь в виду их предельные погрешности, т.е. = Если известны a и ea, то принято записывать: x = a ± ea. Это означает, что точное неизвестное значение х принадлежит промежутку от a – ea до a + ea. Приближения к точному значению по недостатку и по избытку позволяет установить нижнюю и верхнюю границы. Любая пара чисел НГ и ВГ такая, что называется соответственно нижнейи верхней границамиприближённой величины .
Округление
В десятичной записи числа выделяют значащие цифры – это первая слева ненулевая цифра и любые цифры справа от значащей. Пример. В числе 3,14 – 3 значащие цифры, в числе 2,345*10-2=0,02345 – 4 значащие цифры, в числе 308,7060 – 7 значащих цифр, в числе 2,5 *106 – 2 значащих цифры. Округлением числа называется замена его близким по величине, но с меньшим количеством значащих цифр.
Различают округление симметричное (к ближайшему), к большему (с избытком) и к меньшему (с недостатком).
ВГ можно округлить только с избытком, а НГ – с недостатком. Предельная погрешность является верхней границей погрешности и округляется с избытком. Округление отбрасыванием цифр называется отсечением и широко применяется в ЭВМ ввиду простоты и быстроты выполнения.
Для приближённого числа, полученного в результате округления отсечением, абсолютная погрешность равна единице последнего разряда числа. Пример. Округление отсечением числа х = 1,2759 до двух знаков после запятой а = 1,27 даёт абсолютную погрешность . Симметричное округление приводит к меньшей величине ошибки округления. Его погрешность не превышает половины единицы последнего сохраняемого разряда. Пример. Симметричное округление числа х = 1,2759 до двух знаков после запятой а = 1,28 даёт абсолютную погрешность . Введём понятия «верной цифры» и «верной цифры в строгом смысле», соответствующие двум рассмотренным способам округления. Цифра, соответствующая р-му разряду в записи числа а, называется верной, если погрешность , а если погрешность , то цифра верна в строгом смысле. Цифра слева от верной также верна. Пример. Пусть х=18,572 и известно, что . Сколько верных цифр в числе х ? Имеем , но . Значит в числе х верные цифры 1, 8, 5, а 7 и 2 – сомнительные. Верными в строгом смысле являются только цифры 1, 8, так как. .
Оценка погрешности по способу границ
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1849)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |