Задача 2 (дуополия Курно и картель)

В дуополии Курно предельные издержки каждой из фирм постоянны и равны 10. Спрос на рынке определяется соотношением Q = 100 - р.

a) Определите функции наилучшего ответа для каждой из фирм.

b) Каков выпуск каждой из фирм?

Сравните совокупный выпуск дуополии Курно с выпуском картеля.

Дайте графическую иллюстрацию: обозначьте точку Курно-Нэша, точки, при которых фирма имеет монопольный выпуск и конкурентный объем производства.

Решение

P = a - bQ,

где: Q = q1 + q2

P = a - (q1 + q2)

Прибыли дуополистов:

П = TR – ТС = P*Q - С*Q

П = (a–bQ)*Q - С*Q = аQ–bQ² -CQ

тогда:

П1 = aq₁ - q₁² - q₁q₂ - cq₁,

П2 = aq₂ - q₂² - q₁q₂ - cq₂.

 

 

 

Условие максимизации прибыли:

1) (aq₁ - q₁² - q₁q₂ - cq₁) ^I = 0 2) (aq₂ - q₂² - q₁q₂ - cq₂) ^I = 0

а - 2q₁ - q₂ – c = 0 а - 2q₂ - q₂ – c = 0

а = 2q₁ + q₂ + c а = 2q₂ + q₁ + c

q₁ = (а - с) / 2 – 1/2 q₂ q₂ = (а - с) / 2 – 1/2 q₁

 

Найдем равновесные объемы по Курно:

q₁ * = (a – c)/2 – 1/2 * ( (a – c)/2 – 1/2 q₁)

¾ q₁ = (a – c)/4

q₁ * = (a - c)/3 = (100 – 10) / 3 = 30 ед.продукции

q₁ * = (a - c)/3 = (100 – 10) / 3 = 30 ед.продукции

Р = а – 2(a – c)/3 = (а + 2с) / 3 = (100+2*10)/3 = 40

 

Картельный сговор:

TR = P*Q = Q*(100 – Q) = 100Q-Q²

MR = 100 – 2Q = МC

100 – 2Q = 10

Q = 45

P=100-45=55, следовательно q= 45/2 = 22,5 единицы продукции.

 

Задача 3 (дуополии Курно и Штакельберга)

Две фирмы производят одинаковый продукт. У обеих фирм предельные издержки постоянны, у фирмы 1 они равны ТС₁ = 20+2Q за шт., а у фирмы 2 они равны ТС₂ =10+3Q за щт. Функция обратного спроса на хлеб есть р = 100 - Q, где Q= q₁ + q₂.

a) Найдите функцию реакции фирмы 1.

б) Найдите функцию реакции фирмы 2.

в) Найдите объемы выпуска каждой фирмы в равновесии Курно.

г) Найдите объемы выпуска каждой фирмы в равновесии Штакельберга, считая фирму 1 — лидером, а фирму 2-последователем. Посчитайте прибыли.

Решение.

П₁ = TR₁ - ТС₁ = Pq₁ - 20 -2q₁ = 100 q₁ - q₁² - q₁q₂ - 20 -2q₁,

П₂ = TR₂ - cq₂ = Pq₁ - 10 -3q₁ = 100 q₂ - q₂² - q₁q₂ - 10 -3q₂.

Максимизация прибыли:

100 - 2q₁ - q₂ – 2 = 0,

q₁* = (98 - q₂)/2 = 33 ед.

100 - 2q₂ - q₁ – 3 = 0

q₂ * = (97 - q₁)/2 = 32 ед.

Цена Р = 100 – (32+33) = 35 усл. ед.

Прибыль 1ф 100*33 – 33² – 33*32 – 20 – 2*33 = 1069 усл.ед.

Прибыль 2ф 100*32 – 32² – 33*32 – 10 – 3*32 = 1014 усл.ед.

 

Равновесие Штакельберга

П = 100 q₁ - q₁² - q₁*(97 - q₁)/2 - 20 -2q₁ = 49,5 q₁ - q₁²/ 2 - 20

49.5 – q₁ = 0

Лидер: q₁ = 49,5 ед.

Последователь: q₂ = (97 - q₁)/2 = (97 – 49,5)/2 = 23,75 ед.

Р = 100 – (49,5+23,75) = 26,75 ед.

П1= Pq₁ - 20 -2q₁ = 26,75*49,5 – 20 – 2*49,5 = 1205,125 усл.ед.

П2 = Pq₂ - 10 -3q₂ = 26,75*23,75 – 10 – 3*23,75 = 554,0625 усл.ед.

 

 

 

 

Задача 4. Предположим, что на вытянутом по прямой пляже протяженностью 100, на расстоянии 60 м и 40 м от его левого и правого концов расположены 2 киоска — А и Б, с которых продается сок. Покупатели располагаются равномерно_: на расстоянии 1 м друг от, друга; и каждый докупает 1 стакан сока в течение заданного периода времени. Издержки производства сока равны нулю, а издержки его "транспортировки'' покупателем от лотка до своего места под пляжным зонтом равны 0,5руб. на 1 м пути. Определите цену, по которой будет продаваться 1 ст. сока в киосках А и Б, и количество ст. сока, реализуемых с каждого из них за заданный период.

б) Как изменились бы полученные результаты, если бы каждый из лотков располагался на расстоянии 40м от концов пляжа?

Пусть p₁ и p₂ ≈ цены магазинов А и В, q₁ и q₂ ≈ соответствующие количества проданного товара.

Магазин В может установить цену p₂ > p₂, но, для того чтобы q₂ превышало 0, его цена не может превышать цену магазина i>А больше, чем на сумму транспортных расходов по доставке товара из А в В. В действительности он будет поддерживать свою цену на уровне несколько более низком, чем [p₁ - t(l - а - b)], стоимости приобретения товара в А и доставки его в В. Таким образом, он получит исключительную возможность обслуживания правого сегмента b, a также потребителей сегмента у, протяженность которого зависит от разницы ценp₁ и p₂ .

Рисунок 3. Модель линейного города Хотеллинга

Точно так же, если q₁ > 0, магазин А будет обслуживать левый сегмент рынка а и сегмент х справа, причем протяженность х с возрастанием p₁ - p₂ будет уменьшаться. Границей зон обслуживания рынка каждым из Двух магазинов будет точка безразличия (Е на рис.) покупателей между ними с учетом транспортных расходов, определяемая равенством

p₁ + tx = p₂ + ty. (1)

Друг:ая связь величин х и у определяется заданным тождеством

а + х + у +b = l. (2)

Подставляя значения у и х (поочередно) из (2) в (1), получим

x = 1/2[l √ a √ b √ (p₂ - p₁)/t], (3)

y = 1/2[l √ a √ b √ (p₁ - p₂)/t].

Тогда прибыли магазинов А и В будут

p₁ = p₁q₁ = p₁(a + x) = 1/2(l + a - b)p₁ - (p₁²/2t) + (p₁p₂/2t), (4)

p₂ = p₂q₂ = p₂(b + y) = 1/2(l - a + b)p₂ - (p₂²/2t) + (p₁p₂/2t).

Каждый магазин устанавливает свою цену так, чтобы при существующем уровне цены в другом магазине его прибыль была максимальной. Дифференцируя функции прибыли (4) по p₁ и соответственно по p₂ и приравнивая производные нулю, получим

dp₁/dp₁ = 1/2(l + a - b) √ (p₁/t) + (p₂/2t), (5)

dp₂/dp₂ = 1/2(l - a + b) √ (p₂/t) + (p₁/2t)

откуда

p*₁ = t[l + (a - b)/3] = 0,5* (100 + (60-40)/3) = 53,33 руб., (6)

p*₂ = t[l + (b - a)/3] = 0,5* (100 + (40-60)/3) = 46,67 руб.,

q*₁ = a + x = 1/2[l + (a - b)/3] = ½*[100 + (60 - 40)/3] = 53,33, (7)

q*₂ = b + y = 1/2[l + (b - a)/3] = ½*[100 + (40 - 60)/3] =46,67.

При равенстве удалений

p*₁ = t[l + (a - b)/3] = 0,5* (100 + (40-40)/3) =50 руб., (6)

p*₂ = t[l + (b - a)/3] = 0,5* (100 + (40-40)/3) =50 руб.,

q*₁ = a + x = 1/2[l + (a - b)/3] = ½*[100 + (40 - 40)/3] =50, (7)

q*₂ = b + y = 1/2[l + (b - a)/3] = ½*[100 + (40 - 40)/3] =50.

 

Ответ Для киоска на расстоянии 60 метров цена 53,33 руб. и количество 53,33; а для киоска на расстоянии 40 метров цена 46,67 руб. и количество 46,67.

Во втором случае цена будет 50 руб. и 50 клиентов для каждого из киосков.

Задача 5. Монополист, максимизирующий прибыль, производит товар Х с издержками вида ТС=0,25Q²+5Q и может продавать товар на двух сегментах рынка, характеризующихся следующими кривыми спроса: Р =20-q и Р=20 -2q

А) Какие количества продукции и по какой цене монополист будет реализовывать на каждом из сегментов рынка, если ему разрешат проводить ценовую дискриминацию? Найти изменение совокупной прибыли монополиста при переходе к политике ценовой дискриминации.

Приведите графическую иллюстрацию ко всем пунктам решения.

При подсчетах производите округление с точностью до первого знака после запятой.

 

Решение.

Выручка на 1 рынке TR₁ = P₁*Q₁ = (20-q₁)*q₁=20q₁-q²₁ MR=TR’ = 20-2q₁

Выручка на 2 рынке TR₂ = P₂*Q₂ = (20-2q₂)*q₂=20q₂-2q²₂ MR=TR’ = 20-4q₂

MR=MC – условие максимизации прибыли

Оптимальные цены на сегментах рынка

P₁ = 20 – 12 = 8 ед.; P₂ = 20 – 2×6 = 8 ед.

Таким образом прибыль монополии составила

П=8*12+8*6-0,25*18*18-5*18 = -27 ед.