Характеристики рассеивания случайной величины

Различают моменты: начальные и центральные.

Начальным моментом k-го порядка называют:

Центральным моментом k-го порядка называют:

Вычисляется:

Свойства центрального момента:

1^о. М₁[х]=0

2^о. М₂[х] – дисперсия случайной величины.

 

Центральный момент третьего порядка служит для определения характеристик асимметрии распределения случайной величины относительно его математического ожидания.

Коэффициент симметрии:

Если значение А>0, то функция плотности распределения смещена влево, если значение A<0, то функция плотности распределения смещена вправо относительно М₀.

М₄[x] служит для определения крутизны для распределения случайной величины.

Коэффициент эксцесса:

Характеризует крутизну распределения относительно нормального закона распределения, для которого указанная величина равна 3.

Характеристика вероятностных взаимодействий решает следующую задачу:

Дано две случайные величины: X; Y. Определить их зависимость и независимость.

 

Корреляционный момент (корреляция).

 

Коэффициент корреляции:

Если x, y – независимы, то r_x,y à 0

Если x ~ y, то r_x,y à 1

Если x ~ 1/y, то r_x,y à -1

Геометрическая интерпритация коэффициента коррелиации.

Если a стремиться к 0 Ú 90^о, то x, y независимы.

Коэффициент автокоррелиации.

Пусть есть последовательность X = {x₁, …, x_n}, вторую последовательность Y получаем путем сдвига Х на t разрядов k_xy.

 

Основные законы распределения.

1. равномерное распределение

2. нормальное распределение

3. экспонециал (показательное)

4. хи-квадрат

 

Равномерное распределение.

Непрерывная случайная величина равномерно распределена на [a; b]

0, x<a

f(x) = c, a £ x £ b (const ³ 0)

0, x>b

Зная, что

можно определить

 

Нормальное распределение.

Это наиболее часто встречающийся закон.

m_x – математическое ожидание

s=ÖD_x – среднеквадратическое отклонение

M[x] =m_x

D[x] = s²

 

Хорошо описывается погрешность при рассмотрении случайных и псевдослучайных чисел.

Задача1: определить доверительный интервал для матожидания и дисперсии случайных чисел.

t=(x-m_x)/sÖ2

В этом случае x=m_x+Ö2st

Случайная величина t – называется нормированной случайной величиной с нормальным законом распределения, которая имеет следующую функцию распределения:

 

– плотность распределения.

Функция Лапласа.

1 t

Ф*(t)=Ö2p òe^-t2/2 dt

-¥

Связь Ф*(t) и Ф(t):

a = 1 - e - доверительная вероятность.

 

Таблица функции Лапласа для t_e/2.

m_x Î[x-∆; x+∆]

∆ = t_e/2 ´ s/ÖN

s - среднеквадратическое отклонение.

N – число элементов выборки.

Р = 0,95

 

Доверительный интервал – это интервал, относительного которого можно с заранее определенной вероятностью близкой к единице утверждать. Что он содержит неизвестное нам значение параметра m_x.

Задача2: определить длину последовательности для определения точечных характеристик с заданной вероятностью.

N = (t_e/2s/∆)²

N – объем выборки, которое с вероятностью р =1 - e обеспечит заданную точность ∆.

 

Правило трех сигма.

Для случайной величины Х распределенной по нормальному закону ее значение укладывается на участке m_x ± 3s

с вероятностью р = 0,9973.

 

	t2 = te/2 = 1.96

 

 

Доверительный интервал для (имперические значения)