ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2015-11-20

15490

Обсуждений (0)

5.00 из 5.00 12 оценок

12 3 Следующая ⇒

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Случайной называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. Различают дискретныеи случайные непрерывные величины.

Дискретной называют величину, если она принимает счетное множество значений. (Пример: число пациентов на приеме у врача, число букв на странице, число молекул в заданном объеме).

Непрерывнойназывают величину, которая может принимать значения внутри некоторого интервала. (Пример: температура воздуха, масса тела, рост человека и т.д.)

Законом распределения случайной величины называется совокупность возможных значений этой величины и, соответствующих этим значениям, вероятностей (или частот встречаемости).

П р и м е р:

x	x₁	x₂	x₃	x₄	...	x_n
p	р₁	р₂	р₃	р₄	...	p_n

или

x	x₁	x₂	x₃	x₄	...	x_n
m	m₁	m₂	m₃	m₄	...	m_n

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Во многих случаях наряду с распределением случайной величины или вместо него информацию об этих величинах могут дать числовые параметры , получившие название числовых характеристик случайной величины. Наиболее употребительные из них:

1.Математическое ожидание - (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений:

2.Дисперсия случайной величины:

3.Среднее квадратичное отклонение:

Правило “ТРЕХ СИГМ” - если случайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от среднего значения по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения

ЗАОН ГАУССА – НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Часто встречаются величины, распределенные по нормальному закону (закон Гаусса). Главная особенность: он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Случайная величина распределена по нормальному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

где

M(X) - математическое ожидание случайной величины;

s - среднее квадратичное отклонение .

График плотности вероятности нормально распределённой величины

Плотность вероятности (функция распределения) показывает, как меняется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от значения самой величины:

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Математическая статистика - раздел прикладной математики, непосредственно примыкающий к теории вероятностей. Основное отличие математической статистики от теории вероятностей состоит в том, что в математической статистике рассматриваются не действия над законами распределения и числовыми характеристиками случайных величин, а приближенные методы отыскания этих законов и числовых характеристик по результатам экспериментов.

Основными понятиями математической статистики являются:

1. Генеральная совокупность;

2. выборка;

3. вариационный ряд;

4. мода;

5. медиана;

6. процентиль,

7. полигон частот,

8. гистограмма.

Генеральная совокупность- большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования

(Пример: все население области, студенты вузов данного города и т.д.)

Выборка (выборочная совокупность) - множество объектов, отобранных из генеральной совокупности.

Вариационный ряд- статистическое распределение, состоящее из вариант (значений случайной величины) и соответствующих им частот.

Пример:

X,кг

m

x - значение случайной величины (масса девочек в возрасте 10 лет);

m- частота встречаемости.

Мода – значение случайной величины, которому соответствует наибольшая частота встречаемости. (В приведенном выше примере моде соответствует значение 24 кг, оно встречается чаще других: m = 20).

Медиана – значение случайной величины, которое делит распределение пополам: половина значений расположена правее медианы, половина (не больше) – левее.

Пример:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

В примере мы наблюдаем 40 значений случайной величины. Все значения расположены в порядке возрастания с учетом частоты их встречаемости. Видно, что справа от выделенного значения 7 расположены 20 (половина) из 40 значений. Стало быть, 7 – это медиана.

Для характеристики разброса найдем значения, не выше которых оказалось 25 и 75% результатов измерения. Эти величины называются 25-м и 75-м процентилями. Если медиана делит распределение пополам, то 25-й и 75-й процентили отсекают от него по четвертушке. (Саму медиану, кстати, можно считать 50-м процентилем.) Как видно из примера, 25-й и 75-й процентили равны соответственно 3 и 8.

Используют дискретное(точечное) статистическое распределение инепрерывное(интервальное) статистическое распределение.

Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона частот или - гистограммы.

Полигон частот- ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁,m₁), (x₂,m₂), ..., или для полигона относительных частот – с координатами (x₁,р^*₁), (x₂,р^*₂), ...(Рис.1).

m m_i/n f(x)

X x

Рис.1 Рис.2

Гистограмма частот- совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой линии (Рис.2), основания прямоугольников одинаковы и равны dx, а высоты равны отношению частоты к dx, или р^* к dx (плотность вероятности).

Пример:

х, кг 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4

m

Полигон частот

Отношение относительной частоты к ширине интервала носит название плотности вероятности f(x)=m_i / n dx = p*_i / dx

Пример построения гистограммы .

Воспользуемся данными предыдущего примера.

1. Расчет количества классовых интервалов

гдеn - число наблюдений. В нашем случае n = 100. Следовательно :

2. Расчет ширины интервала dх :

,

3. Составление интервального ряда:

dх 2.7-2.9 2.9-3.1 3.1-3.3 3.3-3.5 3.5-3.7 3.7-3.9 3.9-4.1 4.1-4.3 4.3-4.5

m

f(x) 0.3 0.75 1.25 0.85 0.55 0.6 0.4 0.25 0.05

Гистограмма

2015-11-20

15490

Обсуждений (0)

5.00 из 5.00 12 оценок

12 3 Следующая ⇒

Обсуждение в статье: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓