ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Это метод доказательства некоторого утверждения для любого натурального n, основанный на следующем принципе:
Если утверждение верно для n = 1 (базис индукции), и из справедливости его для n = k (предположение индукции), вытекает справедливость этого утверждения для n = k + 1 (индукционный шаг), то оно верно для всех n.
Часто доказательство по индукции имеет форму «спуска»: Если утверждение верно для n=1 и (при n>1) из справедливости его для всех k < n следует справедливость для k = n, то утверждение верно для всех n.
Замечание! Иногда удобно начать индукцию не с n = 1, a c n = 0 или с некоторого n = n0.
Принцип индукции эквивалентен аксиоме: «В любом множестве натуральных чисел есть наименьшее»
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЗАДАЧА 1 Доказать, что 12 + 22 + 32 + …+ n2 = для любого натурального n. Доказательство: 1. Базис индукции Проверим справедливость утверждения при n = 1. , , 1 = 1 – верно. 2. Предположение индукции Предположим, что утверждение верно при n = k, т.е. справедливо равенство 12 + 22 + 32 + …+ k2 = . 3. Индукционный шаг Докажем, что утверждение верно и при n=k+1, т.е. 12 + 22 + 32 + …+ k2 + (k + 1)2 = . Действительно, 12 + 22 + 32 + …+ k2 + (k + 1)2 = + (k + 1)2 = =
Таким образом, доказана справедливость утверждения 12 + 22 + 32 + …+ n2 = для любого натурального n. ЗАДАЧА 2 Доказать, что (32n+1 + 40n – 67) : 64 при любом натуральном n. Доказательство: 1. Базис индукции Проверим справедливость утверждения при n = 1. (32×1+1 + 40×1 – 67) = 27 + 40 – 67 = 0, 0 : 64 – верно. 2. Предположение индукции Предположим, что утверждение верно при n = k, т.е. справедливо (32k+1 + 40k – 67) : 64 3. Индукционный шаг Докажем, что утверждение верно и при n = k + 1, т.е. (32(k+1)+1 + 40(k + 1) – 67) : 64. Действительно, 32(k+1)+1 + 40(k + 1) – 67 = 32k+3 + 40k – 27 = 9×(32k+1 + 40k – 67) – 320k +576 = = 9×(32k+1 + 40k – 67) – 64×(5k – 9). Так как каждое слагаемое делится на 64, то и вся сумма делится на 64. Таким образом, доказана справедливость утверждения (32n+1 + 40n – 67) : 64 для любого натурального n.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Докажите, что при каждом натуральном n число 13×(–50)n + 17×40n – 30 делится на 1989. 2. Докажите, что сумма равна 3. Докажите неравенство Бернулли: (1 + a)n > 1 + na, где a > –1, a ¹ 0, n – натуральное число, большее 1. 4. Докажите, что при любом натуральном n 13 + 23 + … + n3 = (1 + 2 + … + n)2. 5. Докажите, что число (1 + )2012 представляется в виде а + b , где а и b – взаимно простые числа. 6. Докажите, что при любом натуральном n справедливо равенство 7. Докажите методом математической индукции: а) 1×4 + 2×7 + 3×10 + …+ n(3n+1) = n(n+1)2. б) (n+1)×(n+2)×…×(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n – 1). в) . г) . д) 2×12 + 3×22 + …+(n+1)n2= . е)
8. Последовательность {an} задана рекуррентным способом: а1=1, а2=1 и аn+2=an+1+ для n ³ 1. Докажите, что an < 3 при всех n. 9. Числа а1, а2, …, an таковы, что 0 £ а1 £ а2 £ 2а1, а2 £ а3 £ 2а2, …, an–1 £ an £ 2an–1. Докажите, что в суммме S = ± a1 ± a2 ± … ± an можно так выбрать знаки, чтобы было 0 £ S £ a1. 10. На плоскости дан набор из n векторов, длина каждого из которых не превосходит единицы. Докажите, что, заменив некоторые векторы из этого набора на противоположные, можно получить набор векторов, сумма которых имеет длину, не превосходящую . 11. Последовательность а1, а2, а3, … образована по следующему правилу: а1 = 1, а2 = а1 + , …, аn = an–1 + . Докажите, что а100 > 14.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (504)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |