Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ




МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Это метод доказательства некоторого утверждения для любого натурального n, основанный на следующем принципе:

 

Если утверждение верно для n = 1 (базис индукции),

и из справедливости его для n = k (предположение индукции),

вытекает справедливость этого утверждения для n = k + 1 (индукционный шаг),

то оно верно для всех n.

 

Часто доказательство по индукции имеет форму «спуска»:

Если утверждение верно для n=1

и (при n>1) из справедливости его для всех k < n

следует справедливость для k = n,

то утверждение верно для всех n.

 

Замечание!

Иногда удобно начать индукцию не с n = 1, a c n = 0 или с некоторого n = n0.

 

Принцип индукции эквивалентен аксиоме:

«В любом множестве натуральных чисел есть наименьшее»

 

ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

ЗАДАЧА 1

Доказать, что 12 + 22 + 32 + …+ n2 = для любого натурального n.

Доказательство:

1. Базис индукции

Проверим справедливость утверждения при n = 1.

, , 1 = 1 – верно.

2. Предположение индукции

Предположим, что утверждение верно при n = k, т.е. справедливо равенство

12 + 22 + 32 + …+ k2 = .

3. Индукционный шаг



Докажем, что утверждение верно и при n=k+1, т.е.

12 + 22 + 32 + …+ k2 + (k + 1)2 = .

Действительно, 12 + 22 + 32 + …+ k2 + (k + 1)2 = + (k + 1)2 = =

 

Таким образом, доказана справедливость утверждения

12 + 22 + 32 + …+ n2 = для любого натурального n.

ЗАДАЧА 2

Доказать, что (32n+1 + 40n – 67) : 64 при любом натуральном n.

Доказательство:

1. Базис индукции

Проверим справедливость утверждения при n = 1.

(32×1+1 + 40×1 – 67) = 27 + 40 – 67 = 0,

0 : 64 – верно.

2. Предположение индукции

Предположим, что утверждение верно при n = k,

т.е. справедливо (32k+1 + 40k – 67) : 64

3. Индукционный шаг

Докажем, что утверждение верно и при n = k + 1, т.е. (32(k+1)+1 + 40(k + 1) – 67) : 64.

Действительно,

32(k+1)+1 + 40(k + 1) – 67 = 32k+3 + 40k – 27 = 9×(32k+1 + 40k – 67) – 320k +576 =

= 9×(32k+1 + 40k – 67) – 64×(5k – 9).

Так как каждое слагаемое делится на 64, то и вся сумма делится на 64.

Таким образом, доказана справедливость утверждения (32n+1 + 40n – 67) : 64

для любого натурального n.

 

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

1. Докажите, что при каждом натуральном n число 13×(–50)n + 17×40n – 30 делится на 1989.

2. Докажите, что сумма равна

3. Докажите неравенство Бернулли: (1 + a)n > 1 + na, где a > –1, a ¹ 0, n – натуральное число, большее 1.

4. Докажите, что при любом натуральном n

13 + 23 + … + n3 = (1 + 2 + … + n)2.

5. Докажите, что число (1 + )2012 представляется в виде а + b , где а и b – взаимно простые числа.

6. Докажите, что при любом натуральном n справедливо равенство

7. Докажите методом математической индукции:

а) 1×4 + 2×7 + 3×10 + …+ n(3n+1) = n(n+1)2.

б) (n+1)×(n+2)×…×(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n – 1).

в) .

г) .

д) 2×12 + 3×22 + …+(n+1)n2= .

е)

 

8. Последовательность {an} задана рекуррентным способом: а1=1, а2=1 и аn+2=an+1+ для n ³ 1. Докажите, что an < 3 при всех n.

9. Числа а1, а2, …, an таковы, что 0 £ а1 £ а2 £ 2а1, а2 £ а3 £ 2а2, …, an1 £ an £ 2an–1. Докажите, что в суммме S = ± a1 ± a2 ± … ± an можно так выбрать знаки, чтобы было 0 £ S £ a1.

10. На плоскости дан набор из n векторов, длина каждого из которых не превосходит единицы. Докажите, что, заменив некоторые векторы из этого набора на противоположные, можно получить набор векторов, сумма которых имеет длину, не превосходящую .

11. Последовательность а1, а2, а3, … образована по следующему правилу:

а1 = 1, а2 = а1 + , …, аn = an1 + .

Докажите, что а100 > 14.

 




Читайте также:
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (432)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.012 сек.)