Решение логарифмических уравнений и неравенств
О:Логарифмом числа b по основанию числа a (a≠1) называется число x, такое, что ax=b (числа a и b положительные). Записывается logab=x, где a - основание логарифма, x - логарифмируемое число. Основное логарифмическое тождество: Свойства логарифмов: 1. loga(b∙c)=logab+ logac 2. loga = logab- logac 3. logabp = plogab 4. logab= ,c≠1 5. logab= , b≠1 6. loga1=0 7. logaa=1
Таблица степеней чисел
Уравнения, содержащие неизвестную переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими уравнениями(т.е.уравнения вида logax = b, где x > 0, а > 0 и а ≠ 1 называются логарифмическими)
Чтобы решить логарифмическое уравнение или неравенство, нужно: 1. найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифма: logab=x, ax=b ОДЗ: a>0; a≠1 (если а - неизвестно), b>0. 2. Решить само уравнение или неравенство
Рассмотрим 3 типа логарифмических уравнений: · уравнения содержащие один логарифм, в основе решения лежит определение логарифма; · уравнения, содержащие два уравнения и более; в основе решения лежит условие равенства логарифмов: (логарифмы равны тогда и только тогда, когда равны их основания и выражения под знаками логарифма); · уравнения, сводящиеся к квадратным алгебраическим; в основе решения лежит введение новой переменной, позволяющей преобразовать логарифмическое уравнение в квадратное алгебраическое. Пример 1. Решить уравнение Решение: данному уравнению удовлетворяют те значения x, для которых выполнено равенство . Получили квадратное уравнение , корни которого равны 1 и -5. Следовательно, числа 1 и -5 – решения данного уравнения. Пример 2. Решить уравнение . Решение: ОДЗ: ; равносильно 2x+3=x+1, находим х=-2, -2 не удовлетворяет ОДЗ данное уравнение корней не имеет. Пример 3. Решить уравнение ОДЗ:
, полученное квадратное уравнение имеет корни х1=1и х2=2, х1 не удовлетворяет условию ОДЗ, следовательно решением уравнения является х2=2 Пример 4. Решить уравнение Решение: ОДЗ: x > 0. Используем подстановку: Уравнение принимает вид: Обратная подстановка:
х1 и х2 Î ОДЗ, следовательно решением уравнения является и
Логарифмирование и потенцирование. Логарифмирование (пример 2) и потенцирование(пример 3). Пример 5. Прологарифмировать по основанию 5 выражение , где a, b, c – положительные числа. Решение: Используя свойства логарифмов (с1, с2), получим Пример 6. Найти х, если Решение: из равенства находим Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств:
Для решения неравенств рассмотрим теорему Теорема: Если f(x) > 0и g(x) > 0, то: при a> 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x)равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x); при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).
Пример 7. Решить неравенство: Решение: Число -2= неравенство можно записать в следующем виде: . Логарифмическая функция с основанием определена и убывает на , так как , следовательно неравенству удовлетворяют такие числа x, для которых выполнено условие 0<5-2x<9, откуда -2<x<2,5. Решением будет интервал (-2; 2,5) Пример 8. Решить неравенство: Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств: ОДЗ: Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме будет переход к следующему квадратичному неравенству: Следовательно , с учетом области допустимых значений решением будет Пример 9. Решить неравенство: Решение. Найдем ОДЗ:
Следовательно, с учетом области допустимых значений решением будет Пример 10. Решить логарифмическое неравенство: Решение.ОДЗ:
Следовательно, с учетом области допустимых значений решением будет Пример 11. Решить неравенство: Решение. ОДЗ: I способ.Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству: Неравенство будет равносильно двум системам. Первой: И второй: Следовательно, с учетом области допустимых значений решением будет II способ.Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду: Вычтем из знаменателя Это ничего не изменит, поскольку Т.К. выражения и — одного знака при в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход: Множество решений данного неравенства
Итак, а с учетом области допустимых значений решением будет
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1813)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |