Прочность бруса при сложном сопротивлении
Дан плоскопространственный консольный брус из двух стержней с ломаным очертанием осевой линии. Сечение одного стержня круглое с диаметром d, сечение другого стержня прямоугольное с заданным соотношением сторон h/b. Стержни перпендикулярны между собой, Силы направлены перпендикулярно стержням или вдоль их осей, пары сил (моменты) лежат в плоскостях, перпендикулярных одному из стержней. Требуется: 1. Построить эпюры N, Mx , My, Mк в аксонометрии. 2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса. 3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий N, Mx , My и Mk (касательными напряжениями от поперечных сил в сечениях пренебречь). 4. Из расчёта на прочность по первому предельному состоянию определить размеры поперечного сечения d, b, h. Указание. Ориентацию прямоугольного сечения относительно координатных осей выбирает студент. Исходные данные
Расчётная схемаРешение Заданы расчётные значения сопротивления материала и нагрузок. Для проверки прочности балки потребуются максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента в сечениях. Поэтому необходимо построить соответствующие эпюры. Искомые размеры поперечных сечений зависят от внутренних сил. Поэтому займёмся их определением с помощью метода сечений. Чтобы не вычислять специально опорные реакции, в методе сечений будем рассматривать отсечённые части, не включающие заделку. Рассмотрим каждый участок отдельно. Участок BC. Отсечённая часть представлена на рис. 2. Показаны координатные оси и внутренние силы. Направления последних избираются произвольно, их действительные направления далее даются решениями уравнений. Составим уравнения равновесия и найдём из них внутренние силы
Во всех ответах получены положительные знаки, и это означает, что фактические направления внутренних сил совпадают с заранее показанными на рисунке 1. Участок CD. Отсечённая часть представлена на рис. 3. Как и в предыдущем случае составим уравнения равновесия, и найдём внутренние силы
Для продольной силы получен знак минус, и это означает, что направление стрелки противоположно изображённому на рисунке 3, т.е. участок CDработает на сжатие. По результатам вычислений построены эпюры N, Mx и Mк, показанные на рисунке 4. Изгибающие моменты My тождественно равны нулю. Перейдём к определению размеров поперечных сечений стержня. Расчётные сопротивления материала на растяжение и сжатие равны между собой. Значит, наиболее подходящей теорией прочности является энергетическая теория прочности. Участок BС подвергается прямому поперечному изгибу. При пренебрежении поперечной силой (значит, и касательными напряжениями) здесь расчёт должен проводиться в опасном сечении по нормальному напряжению, так как напряжённое состояние получается линейным (одноосным). Опасным сечением является сечение С с максимальным изгибающим моментом Мх = 3,6 кНм. Независимо от применяемой теории прочности условие прочности по первому предельному состоянию имеет вид (1) где Wх – осевой момент сопротивления поперечного сечения. Вычислим его по известной формуле для круга Теперь условие прочности (1) после подстановок принимает вид Решая, получим d = 6,1 см. Участок СD находится в условиях сложного сопротивления, так как в его сечениях действуют сжимающая продольная сила, изгибающий момент, крутящий момент и поперечная сила (рис. 5), влиянием которой пренебрегаем, и поэтому не показываем. Опасным является сечение D, в котором сочетаются наибольшие значения N, Mx, Mк. Анализ рисунка показывает, что опасной точкой является Е, где суммируются сжимающие нормальные напряжения от продольной силы и изгибающего момента, и одновременно действует касательное напряжение от крутящего момента. Здесь создаётся плоское напряжённое состояние, условие прочности которого по энергетической теории имеет вид (2) Выпишем площадь и моменты сопротивления прямоугольного сечения при изгибе и кручении Здесь – табличный коэффициент для прямоугольного сечения при . Нормальное и касательное напряжения в точке Е будут - табличный коэффициент для прямоугольного сечения при , учитывающий, что точка Е находится в середине короткой стороны прямоугольника. Вычислим правую часть условия прочности (2) МПа кПа. После подстановок условие прочности (2) принимает вид (3) Записанное в виде равенства оно представляет собой уравнение с неизвестным b. Определение его корня точными методами затруднительно и требует громоздких преобразований и вычислений. Поэтому применим простой метод итераций (последовательных приближений). С этой целью дробь в подкоренном выражении, содержащую b2, преобразуем, умножив числитель и знаменатель на b. После несложных преобразований уравнение принимает вид (4) Итерационный процесс организуем по формуле, вытекающей из (4) (5) Для начала примем, что b1 = 0, и далее проведём вычисления, следуя (5). Итоги счёта в табличной форме
Вычисления прекращаются, так как заметного уточнения b, уже не происходит. Принимаем, что см. Из условия задачи находим второй размер h = 1,75b = 1,75·4,52 = 7,91 см. В середине длинной стороны прямоугольника G касательные напряжения являются наибольшими, поэтому проверим прочность при найденных значениях сечения. Здесь напряжения будут Очевидно, что условие прочности (2) выполняется. Поэтому найденные размеры являются окончательными. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Задача 4
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (725)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |