Расчёт балки на упругом основании
Для двутавровой балки, расположенной на упругом основании, при модуле упругости равном E= 210 ГПа требуется: 1.Записать с помощью метода начальных параметров выражения для прогибов v, углов поворота поперечных сечений и, изгибающих моментов Mи поперечных сил Qна всех участках балки. 2.Поставить граничные условия и определить неизвестные начальные параметры. 3.Провести расчеты на компьютере и построить эпюры Q, M, , v. 4.Построить эпюру реактивного отпора основания. 5.Определить реакции опор, если они имеются. 6.Проверить прочность балки, приняв коэффициент надежности по нагрузке , расчетное сопротивление R= 210 МПа и коэффициент условий работы .
Исходные данные
Расчётная схемаАналитическое решение Для балки в виде стального прокатного двутавра №22 выпишем осевой момент инерции J = Jx = 2550 см4 и ширину полки с = 11 см. Обозначим и определим жёсткость балки Нм . Для упрощения дальнейших вычислений введём обозначения безразмерной переменной , коэффициента постели k и затем вычислим параметр 1/м. Запишем с помощью метода начальных параметров выражение для прогиба балки в произвольном сечении (1) Здесь v0, - начальные параметры, представляющие собой прогиб и угол поворота в начале координат, т. е. на левом конце балки z = 0 . Y1, Y2, Y3, Y4 – функции А.Н.Крылова, которые определяются из специальных таблиц или по формулам: (2) Эти функции обладают свойством повторяемости при дифференцировании (3) Пользуясь формулой (1) и далее вытекающими из неё выражениями для характеристик балки, следует помнить, что нагрузки M, F, q имеют знаки, установленные для них в методе начальных параметров и зависящие от их направлений. В частности, в данной задаче эти знаки будут отрицательными. Неизвестные начальные параметры определим из граничных условий на правом конце балки: (4) Смысл уравнений (4) в том, что прогиб и угол поворота правого концевого сечения должны равняться нулю вследствие его заделки. Запишем выражения для углов поворота поперечных сечений, изгибающих моментов и поперечных сил. . (5) (6) (7) Вычисляем аргументы и значения функций А.Н.Крылова для выполнения граничных условий (4) , , , , . Раскроем граничные условия (4) с помощью формул (1) - (3). При этом единицы измерения силовых величин для удобства вычислений переведём в килоньютоны. После элементарных упрощений получена система двух алгебраических уравнений относительно Решая, имеем см, рад. Далее расчёты производим с помощью компьютерной программы кафедры теоретической и прикладной механики. Полученные эпюры приведены на рис. 2. Числа, подписанные для характерных точек, взяты визуально с экрана монитора при многократных увеличениях графиков и обладают высокой степенью точности. Реакции в правой опоре можно определить по эпюрам изгибающих моментов 2в и поперечных сил 2г или по обращению к компьютеру с запросом. Получено, что они имеют значения Ml =18,09 кНм, направлен по часовой стрелке, Rl = 27,82 кН, направлена вверх. Ординаты реактивного отпора основания определяем по формуле Винклера . Здесь знак минус учитывает, что имеют противоположные направления. Результаты счёта на компьютере показаны на рис. 2е. Равнодействующая этой реакции, вычисленная как определённый интеграл методом трапеций, составляет R = 116,79 кН. Проверим равновесие балки. Относительная погрешность составляет . Очевидно, что равновесие обеспечено. Вычисления правильны. Расчётное значение наибольшего изгибающего момента равно: Выполняем проверку условия прочности где см - момент сопротивления двутавра №22. Условие прочности выполняется. Прочность обеспечена. Решение методом конечных разностей Изогнутая ось балки описывается обыкновенным дифференциальным уравнением четвёртого порядка , (8) k – коэффициент постели, знак минус в правой части соответствует нагрузке, направленной вниз. Разделим уравнение на , обозначим . и получим вместо (8) . (9) Область непрерывного изменения аргумента заменим областью дискретного изменения аргумента –сеткой (рис. 3) . Множество точек с номерами называется сеткой, а сами точки - узлами сетки. Вместо функции непрерывного аргумента будет отыскиваться сеточная функция . К уравнению (6) присоединяются граничные условия. На левом конце балки изгибающий момент и поперечная сила в сечении равны приложенным нагрузкам . (10) На правом конце балки - заделка. Поэтому прогиб и угол поворота сечения равны нулю . (11) Пользуясь пятиточечным шаблоном сетки (рис. 4), заменим производные в задаче (6) – (8) конечноразностными соотношениями: (12) Подстановка (12) в задачу (9) – (11) и несложные преобразования приводят к системе алгебраических уравнений относительно вектора , (13) где A = , Нулевые элементы матрицы не показаны, значок в индексе соответствует операции транспонирования. Система уравнений (13) решается на компьютере с помощью подпрограммы пакета математических программ MATLAB, в результате чего становится известным вектор v. Далее с помощью конечноразностных замен производных вычисляются угол поворота и внутренние силы в сечениях по формулам . Реактивный отпор основания определяем, как и в предыдущем варианте решения, с помощью формулы Винклера . Результаты счёта, выданные в виде графиков на экран компьютера, почти точно совпадают с данными эпюр, изображённых на рис. 2.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1816)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |