Инструментальные переменные

Что следует делать при наличии ошибок измерения? Если их причиной яв­ляется неточность при подготовке данных, то единственное, что можно сде­лать, — это обрабатывать данные более тщательно. Если же их причина заклю­чается в том, что измеряемая переменная принципиально отличается от ис­тинной объясняющей переменной в зависимости, то можно попытаться по­лучить более подходящие данные. Часто это бывает трудно осуществить на практике. Если требуется получить временной ряд по совокупному измерен­ному доходу, то его можно найти в национальных счетах, но не существует прямого способа получения данных по совокупному постоянному доходу.

Здесь мы объясним использование метода инструментальных переменных (ИП) — наиболее важной разновидности метода наименьших квадратов — для решения данной задачи. Это также имеет большое значение, когда мы оцениваем параметры моделей, состоящих из нескольких урав­нений.

В сущности, метод инструментальных переменных заключается в частичной замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, которая не коррелирована со случайным членом. Ограничимся случаем парной регрессии:

(18)

и допустим, что по какой-либо причине х имеет случайную составляющую, зависящую от u. Будем также предполагать, что в больших выборках Var (х) стремится к конечному пределу . В этих условиях непосредственное применение МНК для построения регрессионной зависимости у от х привело бы к несостоятельным оценкам параметров.

Теперь предположим, что можно найти другую переменную z, которая кор­релирована с х, но не коррелирована с u. Покажем, что основанная на исполь­зовании инструментальных переменных оценка параметра β, определяемая как

(19)

является состоятельной при условии, что при увеличивающемся числе наблю­дений Cov (z, x) стремится к конечному, отличному от нуля пределу, который мы обозначим как . Это означает, что в больших выборках стремится к истинному значению β. Перед этим полезно сравнить с оценкой МНК, которую обозначим как :

(20)

так как Cov (х, х) и Var (х) — одно и то же. Оценка ИП в парном регрессион­ном анализе получается путем подстановки инструментальной переменной z вме­сто х в числителе и вместо одного х (но не обоих) в знаменателе.

Используя уравнение (18), мы можем записать выражение для следу­ющим образом:

(21)

так как Cov (z, α) равна нулю (α является постоянной) и Cov (z, βх) равна β Cov (z, x). Таким образом, можно заметить, что оценка по методу инстру­ментальных переменных равна истинному значению плюс ошибка, равная Cov (z, u)/Cov (z, x). В больших выборках ошибка исчезает, так как

(22)

при условии, что переменная z действительно распределена независимо от u. Следовательно, на больших выборках будет стремиться к истинному значе­нию β.

Почти ничего нельзя сказать о распределении оценки на малых выбор­ках, но при увеличении n ее распределение будет стремиться к нормальному с математическим ожиданием β и дисперсией:

(23)

где — выборочный коэффициент корреляции между х и z.

Сравним полученное выражение с дисперсией оценки МНК:

(24)

Основное различие заключается в том, что дисперсия b_ИП умножается на l/ . Чем теснее корреляция между x и z, тем меньше будет этот коэффициент и, сле­довательно, тем меньше будет дисперсия b_ИП. Следовательно, если мы стоим перед выбором между несколькими возможными инструментальными переменными, то следует выбрать наиболее тесно коррелированную с х, потому что при про­чих равных условиях она даст наиболее эффективные оценки. Вместе с тем было бы нежелательно использовать инструментальную переменную, полностью кор­релированную с х, даже если бы ее удалось найти, потому что тогда она авто­матически оказалась бы коррелированной также и с u, и мы по-прежнему по­лучили бы несостоятельные оценки. Нам нужна инструментальная переменная, наиболее тесно коррелированная с х, но без корреляции с u. Что следует делать при невозможности найти инструментальную перемен­ную, достаточно тесно коррелированную с х? Тогда можно вновь вернуться к методу наименьших квадратов. Если, например, критерием выбора оценки яв­ляется ее стандартная ошибка, то вы можете предпочесть оценку МНК любой оценке, полученной по методу инструментальных переменных, несмотря на смещение, потому что здесь дисперсия меньше.