Косвенный и двухшаговый МНК

Каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться как самостоятельная часть системы, поэтому применение традиционного метода наименьших квадратов для определения его параметров невозможно, так как нарушаются условия МНК:

1) одновременная зависимость между переменными модели, т. е. в первом уравнении y₁ — это функция от y₂, а во втором уравнении y₂ — это функция от y₁;

2) проблема мультиколлинеарности, т. е. во втором уравнении системы y₂ зависит от x₁, а в других уравнениях обе переменные выступают в качестве факторных;

3) случайные ошибки уравнения коррелируют с результативными переменными.

Применение МНК к оцениванию параметров одновременных уравнений дает смещенные и несостоятельные оценки. Для получения оценок параметров системы одновременных уравнений, удовлетворяющих свойствам эффективности, несмещенности и состоятельности, применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК). КМНК пользуются в случае, если структурная форма модели является точно идентифицированной. Алгоритм КМНК включает в себя следующие шаги:

1) на основе структурной формы модели составляется ее приведенная форма, все параметры которой выражены через структурные коэффициенты;

2) приведенные коэффициенты каждого уравнения оцениваются обычным методом наименьших квадратов;

3) на основе оценок приведенных коэффициентов определяются оценки структурных коэффициентов через приведенные уравнения.

Рассмотрим применение косвенного метода на примере структурной модели спроса и предложения вида:

— уравнение предложения;

— уравнение спроса.

Эндогенными переменными в данной модели являются Q_t — объем товара и P_t — цена товара, а предопределенными переменными являются I_t — доход потребителей и P_{t − 1} — цена товара в предыдущий момент времени. ε_1t и ε_2t являются случайными компонентами модели, а a₀, a₁, a₂, b₀, b₁, b₂ — структурные параметры модели. Структурная модель спроса и предложения является точно идентифицированной, поэтому для оценивания ее параметров можно применить косвенный метод наименьших квадратов.

1. Запишем модель спроса и предложения в приведенной форме:

2. Оценки коэффициентов приведенной формы определяются с помощью обычного метода наименьших квадратов. Систему нормальных уравнений для определения коэффициентов первого уравнения приведенной системы можно записать в виде:

Система нормальных уравнений для определения коэффициентов второго уравнения приведенной системы записывается аналогично. Решением данных систем нормальных уравнений будут являться численные оценки приведенных коэффициентов A₁, A₂, A₃ и B₁, B₂, B₃.

3. Чтобы по оценкам приведенных коэффициентов получить оценки структурных коэффициентов первого уравнения, необходимо из второго приведенного уравнения выразить переменную I_t и подставить полученное выражение в первое уравнение приведенной формы. Чтобы получить оценки структурных коэффициентов второго уравнения, необходимо из второго приведенного уравнения выразить переменную P_{t − 1} и подставить полученное выражение в первое уравнение приведенной формы.

Если уравнение сверхидентифицировано, то оценки его параметров нельзя определить косвенным методом наименьших квадратов. Обычный МНК также применять нельзя в связи c нарушением основных предпосылок его применения. В данном случае могут использоваться различные методы оценивания неизвестных параметров, однако наиболее простым и распространенным является двухшаговый метод наименьших квадратов (2МНК). Двухшаговый метод наименьших квадратов реализуется в несколько этапов:

1) на основе структурной формы модели составляется ее приведенная форма;

2) с помощью обычного метода наименьших квадратов определяются оценки коэффициентов приведенных уравнений;

3) рассчитываются значения тех эндогенных переменных, которые выступают в качестве факторных в сверхидентифицированном уравнении;

4) с помощью обычного метода наименьших квадратов определяются все структурные параметры уравнений системы через предопределенные переменные, входящие в это уравнение в качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.

Данный метод наименьших квадратов называется двухшаговым, потому что МНК используется дважды: первый раз для определения оценок эндогенных переменных приведенной формы и второй раз для определения оценок структурных параметров уравнений системы.

Сверхидентифицированная структурная модель может быть двух видов:

1) помимо сверхидентифицированного уравнения, в модели также содержатся точно идентифицированные уравнения;

2) все уравнения модели являются сверхидентифицированными. В первом случае оценки структурных коэффициентов точно идентифицированного уравнения определяются на основании системы приведенных уравнений. Во втором случае оценки структурных коэффициентов системы определяются с помощью двухшагового метода наименьших квадратов.

Если все уравнения системы являются точно идентифицированными, то оценки структурных коэффициентов, полученные КМНК, будут совпадать с оценками, полученными 2МНК.

Применение обычного МНК к оценке параметров сверхидентифицированного уравнения невозможно, так как в уравнении в качестве факторной переменной выступает эндогенная переменная y_t . В данном случае можно перейти к такой переменной, которая удовлетворяла бы условиям нормальной линейной регрессионной модели. Делается это с помощью метода инструментальных переменных.