Общее условие максимизации прибыли при покупке фактора производства

Для того чтобы получить максимальную прибыль произведя и продав продукцию на рынке готовой продукции фирма на рынке труда должна нанять такое количество работников, чтобы выполнялось следующее:

MRP_L = MIC

где

MRP_L – предельная доходность труда,

МIC – предельные издержки на фактор производства (труд).

MRP_L = MR × MP_L

где

MR – предельная выручка,

MP_L – предельный продукт труда.

Фирма находится в условиях совершенной конкуренции на рынке данного товара и на рынке труда.

Фирма, продающая продукцию на совершенно конкурентном рынке, не может повлиять на рыночную цену, она принимает её как заданную и в этом случае:

Р = МR

На рынке труда издержки фирмы на труд равны ставке заработной платы:

MIC = ω,

где

ω – ставка заработной платы

Таким образом, для совершенно конкурентной во всех отношениях фирмы условие максимизации прибыли при покупке фактора производства будет иметь вид:

P × MP_L = ω

Продифференцируем производственную функцию и найдём предельный продукт труда (MP_L) по формуле:

Подставим это выражение в условие максимизации прибыли и найдём количество нанимаемого труда:

8 × (120 – 4 × L) = 60

960 – 32 × L = 60

900 = 32 × L

L = 28,125

Оптимальный для фирмы выпуск продукции будет равен:

Q = 120 × 28,125 – 2 × 28,125 ² = 1793

 

 

Задача

Фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции, сделала все необходимое для максимизации своей прибыли, но, тем не менее, получила убыток в среднем в размере 14 р. с каждой проданной единицы продукции. Общая выручка фирмы составила 660 р., а предельная выручка от продажи последней единицы оказалась равной 12 р. Определите величину общих издержек фирмы (ТС).

 

Решение:

Фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции, максимизирует свою прибыль, если выполняется равенство:

P = MC = MR = AR.

По условию предельная выручка MR от продажи последней единицы равна 12. Впрочем, как и от продажи любой другой единицы на рынке совершенной конкуренции. Следовательно, и цена на рынке будет равна 12.

MR = P = 12

Зная величину общей выручки и цены, найдём объём производства:

Q = TR / P = 660 / 12 = 55

Прибыль фирмы определяется по формуле:

П = TR – TC = P × Q – AC × Q = Q × (P – AC)

По условию задачи фирма получила убыток с каждой проданной единицы продукции в размере 14 р.:

Так как Р – АС = –14 и Р = 12, отсюда АС = 26.
Итак, средние издержки при оптимальном объёме выпуска равном 55 равны 26. Найдём общие издержки при оптимальном объёме, используя формулу средних затрат:

 

 

Определение рыночной цены и отраслевого выпуска продукции

В отрасли действуют 130 одинаковых фирм. Издержки производства каждой фирмы описываются функциями

ТС =Q³ - 36*Q² + 384*Q,

где

Q - объём производства в тысячах штук. Найти рыночную цену и отраслевой выпуск продукции, при которых на конкурентном рынке устанавливается долгосрочное равновесие.

 

Решение:

В долгосрочном периоде на рынке совершенной конкуренции соблюдается равенство:

P = MC = MR = AR = minAC.

Найдём функцию средних издержек каждой фирмы по следующей формуле:

АС = ТС / Q = Q² - 36*Q + 384

Далее необходимо найти минимум данной функции. Для этого определим производную функции АС и приравняем её к нулю.

2*Q - 36 = 0

Q = 18

AC(18) = 18² - 36*18 + 384 = 60

Так как Р = minAC в долгосрочном периоде, следовательно, рыночная цена равна Р = 60.

Найдём отраслевой выпуск. Так как каждая из фирм отрасли производит 18 тысяч штук продукции, значит 130 фирм произведут:

Q_отр. = 18*130 = 2340 тысяч штук

 

 

 

Задача. Расчёт рыночной цены на конкурентном рынке в долгосрочном периоде

Допустим, общие затраты фирмы на выпуск Q единиц продукции составляют:

Q³ – 16*Q² + 400*Q.

а) При каком значении Q средние затраты достигают минимума?

б) При какой цене этой фирме становится выгодным участвовать в совершенной конкуренции в долгосрочном периоде?

 

Решение:

а) Найдём функцию средних затрат по формуле:

АС = ТС / Q = (Q³ – 16*Q² + 400*Q) / Q = Q² – 16*Q + 400

Определим минимум функции. Для нахождения экстремума функции необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

AC’ =(Q2 – 16*Q + 400)’ = 2*Q – 16

2*Q – 16 = 0

Q = 8

При Q = 8 средние затраты достигают минимума.

б) В долгосрочном периоде фирме становится выгодным участвовать в совершенной конкуренции, если Р ≥ АС. При этом фирма имеет нулевую прибыль. И выполняется условие:

Р = МС = MR = minАС

Рассчитаем minAC. Подставим Q = 8 в функцию средних затрат:

minAC(Q=8) = 82 – 16*8 + 400 = 336

Итак, при цене Р ≥ 336 фирме становится выгодным участвовать в совершенной конкуренции в долгосрочном периоде.

 

 

 

Расчёт рыночной цены и объёма выпуска на конкурентном рынке

Конкурентная фирма имеет общие затраты

ТС = 800 + 40*Q + 2*Q²

Она получает в краткосрочном периоде максимально возможную прибыль, равную 1000.

Определить цену на рынке и объём выпуска данной фирмы.

 

Решение:

Формула прибыли фирмы имеет вид:

П = TR - TC = P*Q - TC

По условию максимально возможная прибыль равна 1000.

P*Q - (800 + 40*Q + 2*Q²) = 1000

Найдём цену.

Условие максимизации прибыли на рынке совершенной конкуренции имеет вид:

Р = МС = MR = AR

Так как Р = МС, а МС = ТС' = 40 + 4*Q, следовательно, Р = 40 + 4*Q. Подставим это выражение в формулу прибыли и получим:

(40 + 4*Q)*Q - (800 + 40*Q + 2*Q²) = 1000

40*Q + 4*Q² - 800 - 40*Q - 2*Q² - 1000 = 0

2*Q² = 1800

Q² = 900

Q_1,2 = ±30

Так как отрицательный корень экономического содержания не имеет, берём Q = 30.

Тогда цена будет равна:

Р = 40 + 4*30 = 160

 

 

Выбор оптимального объёма производства

Зависимость общих затрат предприятия (ТС) от выпуска представлена в таблице:

Выпуск в единицу времени, Q, шт.
Общие затраты, ТС, р.

На рынке цена установилась на уровне 110 р.

а) Сколько продукции должно производить предприятие, чтобы достичь максимума прибыли?

б) Не следует ли прекратить производство?

в) Ниже какого уровня должна снизиться цена, чтобы предприятие прекратило производство данного товара?

 

Решение:

а) Прибыль достигает максимума, когда MR = MC, в точке, в которой кривая предельных издержек возрастает, а не снижается.

Так как цена не зависит от объёма продаж и равна 110 рублей, следовательно, данное предприятие работает в условиях совершенной конкуренции.

Кроме этого, так как при Q = 0 фирма несёт издержки (постоянные затраты, независящие от объёма выпуска FC = 100 р.), речь идёт о краткосрочном периоде.

На конкурентном рынке предельный доход и цена равны: MR = P.

Условие максимизации прибыли для конкурентной фирмы заключается в выборе такого объёма выпуска продукции, чтобы цена равнялась предельным издержкам:

Р = МС.

Найдём предельные издержки этого предприятия по формуле:

МС = ΔТС / ΔQ

Выпуск в единицу времени, Q, шт.
Общие затраты, ТС, р.
Предельные затраты, МС, р.	-

Как видно из таблицы равенство Р = МС не соблюдается ни при каком объёме выпуска.

При Q = 3, Р > МС, а при Q = 4, Р < МС.

Выпустив три единицы продукции, предприятию следует остановиться, так как прирост выпуска на единицу скорее снизит, а не увеличит прибыль, то есть добавление четвёртой единицы продукции приносит убыток.

б) Существует единый критерий для любого временного периода: фирма продолжает работу в отрасли, если при достижении максимума прибыли (отличного от П(0)) её выручка больше или равна значению переменных издержек.

Выручка при Q = 3 равна TR = PQ = 110*3 = 330 р.

Переменные издержки равны разности общих и постоянных затрат:

VC = TC - FC = 300 - 100 = 200 р.

Так как выручка больше переменных издержек TR > VC, фирма продолжает работу. Производство прекращать не следует.

в) Для того, чтобы предприятие прекратило производство данного товара нужно, чтобы цена опустилась ниже минимума средних переменных затрат:

Р < min AVC.

Рассчитаем средние переменные издержки как отношение переменных затрат к объёму выпуска:

Переменные затраты определим как разность общих и постоянных затрат. Результаты занесём в таблицу.

Выпуск в единицу времени, Q, шт.
Общие затраты, ТС, р.
Переменные затраты, VC, р.
Средние переменные затраты, AVC, р.	-			66,67

Минимум средних переменных затрат равен 40 р. Значит, чтобы предприятие прекратило производство данного товара нужно, чтобы цена опустилась ниже 40 р.