Тема 1. Предел и непрерывность функции

§ 1. Множество действительных чисел. Понятие функции. Способы задания функций. Элементарные функции. Простейшие неэлементарные функции.

Литература: [1, гл. 5], [2, гл. VI], [3, гл. V], [4, § 1.1 - 1.2, стр. 5-9][5,гл.V,§1],[7,гл. 1,гл.4,§1].

Упражнения: [5, упр. 679, 700], [6, упр. 1.1. I), 2), 5) - 7), 1.2. 1)-3)], [7, гл. 4, упр. 73, 75, 83, 99, 139, 191].

§ 2. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Односторонние пределы. Два замечательных предела.

Литература:[1, гл. 6, § 4 - 10], [2, гл. VII, § 1 - 13], [3, гл. VI, § 24 - 28], [4, § ] .2 - 1.6, стр. 9-19], [5, гл. V, § 2 - 7, 10], [7,гл. 4 § 2].

Упражнения:[5, упр. 730, 734, 736, 742, 743, 763, 770, 779, 782 -785], [6, упр. 1.20- 1.25, 136- 139, 146- 149], [7, гл. 4, упр. 228, 234 - 241, 264 - 267, 289].

§ 3. Приращение функции. Возрастание и убывание функции. Непрерывность функции. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства непрерывных функции.

Литература: [1, гл. 6, § 1 -3], [2, гл. VIII], [3, гл. VI, § 29], [4, § ,1.7, стр. 19-24], [5, гл. V, § 8], [7, гл. 4, § 2]

Упражнения: [5, упр. 814-816],[6, упр. 1.72, 1.81, 1.83, 1.86], [7, гл. 4, упр. 225 - 226].

Тема 2. дифференциальное исчисление функции одной переменной

§ 1. Определение производной. Дифференцируемость и непрерывность функций. Геометрический, физический и экономический смысл производной. Свойства производной. Правила дифференцирования

(включая производные сложной и обратной функции).

Литература: [ 1, гл. 7], [2, гл. IX, X], [3, гл. VII, § 30 - 37], [4, § 1.8, UО, 1.11, стр. 25-27, 30-40], [5, гл, VI, § 1, 2 ,4 - 6, 8-10; гл. VII, § 1]. [1, гл. 5. § 1,2];

Упражнения: [5, упр. Ш, 850, 852-854, 874-877, 937-939, 980-985, 1090-1092],'[6, упр. 2.1, 2.2, 2.7-2.17, 2.21-2.24, 2.76-2.79,2.111,2.112, 2.231, 2.232], [7, гл. 5, упр. 1, 11 - 13,25-30,33-36,45-50, 136, 137].

§ 2. Теоремы Рояля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

Литература: [1, гл. 9, § 1], [2, гл. XI, упр. 1, 2, 5], [3, гл. VH1, §40,41], [4, § 1.13, 1.14.1, стр. 41-45], [5, гл. VII, § 2,3] [7, гл. 5, §6].

Упражнении: [5, упр. 1] [01-1107, 1122-1134], [б, упр. 2.162-2.164,2.166-2.168, 2.171,2.173-2.183],[7, гл. 5, § 6, упр. 225-234,241,244,246,260].

§ 3. Дифференциал функции, его связь с производной. Геометрический смысл дифференциала и его использование в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.

Литература: [1,гл.8], [2, гл. XII], [3, гл. VII, § 38], [4, § 1.9. 1.12, 1.14.4, стр. 27-30, 39-40, 55-56], [5, гл. VI, § 11] [7, гл. 5, §3,4].

Упражнения:[5, упр. 1064, 1070, 3071, 1021, 1022], [6, упр. 2.122-2.124, 2.134-2.137, 2.146, 2.147, 2.156], [7, гл. 5, упр. 146, 160, 161, 163-167, 174, 175, 179, 198, 199].

§ 4. Исследование функций с помощью дифференциального исчислении. Условия возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Литература:[ 1, гл. 9, § 2 -5],[2, гл. XI,§ 2, упр. 3 -5, §7, упр. 6- 14], [3. гл. VII, § 42 - 44], [4, § 1.14.2, стр. 46-55] [5, гл. VII, § 4, 5], [7, гл. 5, § 7].

Упражнения: [5, упр. 1158, 1160-1162, 1176], [6, упр. 2.203] [7, гл. 5, упр. 282].

§ 5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба и их нахождение. Асимптоты. Общая схема исследования функции.

Литература: [ 1, гл. 9, § б -8], [2, гл. XI, § 8, 10, упр. 15 - 27], [3, гл. VII, § 45, 46], [5, гл. VII, § 6; гл. V, §9], [7, гл. 5, § 7].

Упражнения: [6, упр. 2,204-2.207, 2.224-2.226, 2.233,2.234], [7, гл. 5, упр. 297-300, 324-327].

§ 6. Формулы Тейлора 11 Маклорена. Примеры разложения элементарных функций по формуле Маклорена. Литература: [4, § 1.4.14, стр. 56-57], [7, гл. 5, § 6]. Упражнения: [7, гл. 5 упр. 269-271].

Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Полное и частное приращение функций. Частные производные. Дифференцируемость к дифференциал функции. Геометрический смысл дифференцируемости функции двух переменных.

Производная по направлению. Градиент и его свойства. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие для случая двух независимых переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции нескольких переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов).

Литература: [1, гл. 10], [2, гл. XX], [4, гл. 3, стр. 58-72], [5, гл. XI, § 1-3,6, 11, 12],[7, гл. 11, 12].

Упражнения: [5, 1858-1861, 1884, 1885, 1927, 19.31, 1947, 2018, 2025, 2030-2033, 2036,2037], [6,3.1 3.4, 3.4-3.7, 3.14-3.17, 3.23-3.26, 3.29-3.33, 3.36, 3.38-3.39, 3.40-3.46, 3.51-3.5.3], [7, гл. 12 упр. 1-4, 34, 46, 51, 59, 109-111].

Раздел II. интегральное исчисление. дифференциальные уравнения. Ряды

Тема 4. интегралы.

§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: пшена переменной, интегрирование по частям.

Литература: [1,гл. II], [2, гл. XIII], (3. гл. IX], [4, §2.1-2.5, стр. 73-82], [5, гл. VIII, §1-8, 10], [7, гл. 6, §1-3).

Упражнения: [5, 1263-1267, 1279-1284, 1291-1296, 1301, 1305 1307, 1309, 1330, 1340, 1362, 1363, 1375-1379, 1383, 1428, 1444],[6, 4.1- 4.5, 4.19-4.22, 4.61-4.65, 4.68-4.72, 4.80, 4.96-4.99, 4,104, 4.105], [7, гл. 6 упр. 1-5,37-40,56-59, 102-105, 107-110, 118, 119, 126].

§ 2. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла. ФормулаНьютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Литература: [1, гл. 12, §5], [2, гл. XIV, §12, упр. 10], [3, гл. X, §59], [4, § 2.6 - 2.9, стр. 82-88], [5, гл. IX, § 7], [7, гл. 6, § 4].

Упражнения: [5, 1593-1596, 1601], [6,4.117, 4.118, 4.120-4.124, 4.129, 4.130, 4.136], [7, гл. 6 упр. 2S4-257, 268-270].

§ 3. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела вращения. Приближенные методы вычисления определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Литература: [ 1, гл. 12, §6, 8], [2, гл. XV], [3, гл. X, § 58], [4, § 2.10, 2.12, стр. 88-92, 95-97], |5, гл. IX, § 2-3], [7, гл. 6, § 5].

Упражнения: [5, упр. 3625,1653,1654, 1669, 1670], [6,4.138, 4.142 - 4.146, 4.158], [7, гл. 6 упр. 290, 292-294, 219,221, 388,391].

§ 4. Несобственные интегралы. Понятие о кратных интегралах.

Литература:[11, гл. 12, §5], [2, гл. XIV, §12, упр. 10], [3, гл. X, §59], [4, § 2.11, 2.13, стр. 92-95, 97-99], [5, гл. IX, § 7], [ 7, гл. 6, § 6].

Упражнения:[5, упр. 1748, 1752], [6, упр. 4.171], [7, гл. 6 упр. 35 5-3 5 8].

Тема 5. Дифференциальные уравнения

§1. Понятие о дифференциальном уравнении. Примеры торгово-экономических задач, приводящие к дифференциальным уравнениям. Порядок дифференциального уравнения. Семейство решений. Теорема существования и единственности решения (без доказательства). Задача Коши. Геометрическое истолкование решения. Общее и частное решение дифференциальногоуравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными. Линейное уравнение первого порядка. Возможные случаи понижения порядка дифференциального уравнения (на примере уравнений второго порядка), когда в его записи отсутствуют независимая переменная или искомая функция.

Литература: [1, гл. 13, § 5], [2, гл. XXI, §1-5, 9], [3, гл. XVI, §79], [4, § 2. 14-2:17, стр. 99-108], [5, гл. XII, § 1 -3,7, 10], [7, гл. 14, § 1.1-1.3].

Упражнения: [5, упр. 2051, 2057, 2058, 2061, 2 Н 5, 2116], [6, упр. 5. 14-5.18, 5.21], [7, гл. 6, упр. 1-4, 10-13, 20-23, 43-46].

§ 2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Неоднородные линейные дифференциальные -уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Подбор частных решений при специальном виде правой части.

Литература: [ 1, гл. 14], [2, гл. XXII, § 7, 11 - 13], [3, гл. XVI, §80], [4, § 2.18-2.21, cтp. 108-118], [5, гл. XII, § 8, 9], [7, гл. § 2].

Упражнения: [5, упр. 2184-2187, 2213 -2216, 2218], [6, упр. 5.22, 5.23, 5.25, 5.27, 5.29, 533, 5.37-5.39], [7,гл. 6, упр. 78-79, 84-87, 98-101, 104-106].

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

ТЕМА 1.

1.Сформулируйте определение понятия функции. Что называется областью определения функции?

2.Какие функции называются элементарными?

3.Какой вид имеют графики функций ,

?.

Укажите области определения и множества значений этих функций. Какие из этих функций являются чётными?

4.При каких условиях число называется пределом функции при стремлении x к числу 2, к -∞, + ∞? Прочитайте формулы , и объясните их смысл.

5. Пределом какой функции при x→0 является число е? Найдите в учебнике значение числа ее двумя знаками после запятой. Как называется иобозначается логарифм числа x по основанию е? Какому числу равен предел ?

7.Какие правила применяются вычислении пределов суммы, разности и отношения двух функций?

8.Как определяется непрерывность функции в точке a?

ТЕМА 2.

1.Сформулируйте определение производной. Каков геометрический смысл производной?

2.Функция имеет производную в данной точке. Следует ли отсюда, что она непрерывна в этой точке?

3.Сформулируйте теоремы Ролла и Лагранжа. Каков геометрический смысл этих теорем? Сформулируйте теорему Коши.

4.В чем заключается правило Лопиталя? При каких условиях применяется правило Лопиталя? Перечислите различные типы неопределённостей, для раскрытия которых может быть использовано это правило. Приведите примеры.

5.Что называется дифференциалом функции? Приведите примеры.

6.Каковы признак» возрастания и убывания функции?

7.Что такое экстремум функции? Каковы необходимые и достаточные условия экстремума? Приведите примеры.

8.Приведите пример, показывающий, что обращение производнойв нуль не является достаточным условием экстремума.

9.Как найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции? Приведите примеры.

ТЕМА 3.

1.Сформулируйте определение частных производных. •

2.Что называется полным приращением и полным дифференциалом функции двух переменных? Приведите примеры.

3.Каковы достаточные условия минимума (максимума) функции двух переменных. Что такое условный экстремум?

.ТЕМА4.

1.Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.

2.Что называется неопределённым интегралом?

3.Какие правила применяются для вычисления неопределённого интеграла суммы функций, для вычисления ?

4.Выведите формулу интегрирования по частям.

5.Что называется интегральной суммой функции нa отрезке [a',b].Какая фигура называется криволинейной трапецией? По какой формуле вычисляется её площадь?

6.Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

7.Какие свойства определённого интеграла Вам известны?

8.В чём состоят определение и геометрический смысл несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования?

ТЕМА 5.

1.Что называется системой линейных алгебраических уравнений и ее решением?

2.Метод Крамера, Гаусса, обратной матрицы.

3.Исследование СЛАУ на совместность. Теорема Кронекера-Капелли.

ТЕМА 6.

1.Что называется вектором?

2.Линейные операции над векторами.

3.Произведения векторов.

4.Вычисление площадей и объемов с помощью векторов.

5.Прямая и плоскость в пространстве. Различные способы задания, взаимное расположение.

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Карасей А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. М.: Высшая

школа, 1982.

2. Кудрявцев В. А., Демидовым Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.

3. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1972.

4. Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 3. Основы математического анализа. М.: МКУ, 1993.

5. Минорский В. И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1986.

6. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач, часть I. М,: изд. МГУК, 1998.

7. Шипачев B.C. Задачник но высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.

8. Ефимов А.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1972.

9. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

10. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.

11. Высшая математика для экономистов (под ред. Проф. Н.М.Кремера). – М.: Банки и биржи, издательское объединение ЮНИТИ, 1998

12. Лавриненко Т.А., Зайцев М.В., Туганбаев А.А. Высшая школа. Сборник задач. Ч. 2. – М.: МГУК, 1999.

13. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М: Наука, 1988.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

[1]. Шипачев В. С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.

[2]. Данко П. В., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика вупражнениях и задачах. Ч I, II. М.: Высшая школа, 1980.

[3].Задачи и упражнения но математическому анализу для втузов. / Под ред. Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1979.

[4].Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 3966.

[5]. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. Т. 1,2,М.: Наука, 1972.

[6].Высшая математика для экономистов (под ред. проф. Н.М. Кремера). М.: Банки и биржи, издательское объединение ЮНИТИ, 1998.

[7].ФихтенгольцГ. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1962.