Почему математика столь эффективна?

Существует вопрос, давно волнующий людей, задумывающихся об основаниях математики: почему математика столь эффективна при описании нашего мира и столь хорошо описывает его эволюцию?

Этот вопрос возникает, как только мы вводим числа и начинаем использовать их при счете. Похожий вопрос возникает, как только мы вводим дифференциальное исчисление и применяем его к описанию движения планет. Существуют некоторые правила, помогающие нам оперировать с математическими символами и связывать эти операции с результатами наблюдений. Почему эти правила так хорошо работают?

Конечно, всегда можно сказать, что это так, потому что так устроен мир. Однако вспомним о некоторых других вопросы похожего типа. Почему наша вселенная настолько велика? Почему параллельные линии не пересекаются? Почему различные части вселенной настолько похожи? Тридцать лет назад эти вопросы тоже казались слишком уж метафизическими и не рассматривались всерьез, теперь же мы знаем, что теория инфляционной вселенной может дать на них вполне разумные ответы. Попробуем воспользоваться ее помощью и в нашем случае.

Прежде чем продолжать, попытаемся построить хотя бы один пример вселенной, в которой математика была бы неэффективной. Предположим, что вселенная может существовать в стационарном или квазистационарном вакуумном состоянии с планковской плотностью . Согласно квантовой гравитации, квантовые флуктуации кривизны пространства-времени при этом должны быть порядка самой кривизны, другими словами, в такой вселенной эталон длины (к примеру, линейка) будет изгибаться, скручиваться и растягиваться хаотическим и непредсказуемым образом гораздо быстрее, чем можно было бы с его помощью измерить длину, часы будут разрушаться настолько быстро, что с их помощью нельзя будет измерять время, вся информация о прошлом будут разрушаться, так что невозможно будет вспомнить ничего из произошедшего, на основе этого сделать предсказание о будущем и сравнить его с экспериментальными данными.

Похожая ситуация имеет место и для типичной неинфляционной замкнутой вселенной. В квантовой гравитации есть лишь один естественный масштаб длины , и лишь один - плотности энергии . Легко показать, что для типичной замкнутой вселенной с типичными начальными размером и плотностью время жизни до коллапса составляет примерно секунды, и в течение всей своей недолгой жизни в такой вселенной сохраняется плотность энергии порядка планковской или выше. В такой вселенной может существовать лишь несколько элементарных частиц (Linde, 1990a), и потому в ней не может оказаться ни одного наблюдателя, некому в ней построить измерительные приборы, зафиксировать происходящие в ней события и описать их при помощи математики.

В этих примерах математика была бы достаточно неэффективной, так как она не могла бы помочь связать между собой различные явления и процессы. Более того, если законы физики в некоторой части вселенной не допускают формирования стабильных долгоживущих структур, математика там будет практически бесполезной, и там не будет наблюдателей (долгоживущих объектов, наделенных сознанием и памятью), которые могли бы нам об этой области вселенной рассказать.

К счастью, среди всех областей вселенной (или среди всех возможных вселенных) обязательно найдутся те, в которых возможна инфляция. Плотность энергии в таких областях со временем становится на много порядков меньше планковской , размеры их экспоненциально увеличиваются и существуют такие области экспоненциально долго. Наше существование возможно только в тех из данных областей, в которых законы физики допускают существование стабильных долгоживущих структур, что подразумевает возможность существования математики, которую можно использовать для долговременных предсказаний. Быстрое развитие человечества стало возможным лишь потому, что живем мы во вселенной, в которой такие долговременные предсказания достаточно эффективны для того, чтобы помочь выжить во враждебном окружении и победить в борьбе за существование все другие виды.

В результате, в рамках концепции Мультимира можно представить себе все возможные вселенные со всеми возможными законами физики и математики. Жить же мы можем лишь в тех из них, в которых математика достаточно эффективна.