Методические указания по решению задач

Табельный номер рабочего

В дневную смену

В ночную смену

Произведено продукции, шт. (у)

Произведено продукции, шт. (у)

-2 -4 +2 -4

+2 -2 -2 +2

2015-11-27

734

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 2 3 45

ТЕМА 1: СТАТИСТИЧЕСКАЯ СВОДКА И ГРУППИРОВКА. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ.

Предусматривается решение следующих типов задач:

1. Построение рядов распределения по количественному признаку.

2. Построение группировки.

3. Проведение вторичной группировки.

Решение типовых задач

Задача:

В отчетном периоде работа 30-ти предприятий отрасли характеризуется данными, представленными в табл.1.

Таблица 1

№ п/п	Основные производственные фонды, млн. руб.	Фактический выпуск продукции, млн. руб.	№ п/п	Основные производственные фонды, млн. руб.	Фактический выпуск продукции, млн. руб.
A			A
	1,2 2,4 3,5 4,9 3,8 6,5 1,6 2,0 4,7	3,7 2,9 5,6 5,4 2,8 9,8 1,8 2,5 4,5		3,3 3,1 7,1 3,1 3,5 3,1 5,6 2,9 2,9	1,3 3,4 9,0 2,5 4,6 3,6 8,2 3,9 3,9
	1,7 3,2 7,2 2,0 2,5 3,9 5,3	2,3 3,2 8,6 1,5 3,2 4,3 5,4		3,5 4,8 1,6 1,8 4,2	4,5 6,1 1,9 2,2 5,6
	106,9	129,2

С целью выявления зависимости между стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции проделайте следующую работу:

1) произведите аналитическую группировку предприятий по размеру основных производственных фондов, образовав четыре группы с равными интервалами. По каждой группе предприятий подсчитайте: 1) число предприятий; 2) стоимость основных производственных фондов – всего и в среднем на одно предприятие; 3) стоимость выпуска продукции – всего и в среднем на одно предприятие. Результаты оформите в таблице. Сделайте краткие выводы;

2) произведите комбинационную группировку по двум признакам: по стоимости основных производственных фондов и выпуску продукции. Результаты оформите в виде комбинационной и корреляционной таблиц. Сделайте краткие выводы.

Решение: 1. Группировки, которые применяются для исследования взаимосвязи между явлениями, называются аналитическими. Чтобы исследовать взаимосвязь между признаками с помощью метода аналитических группировок, необходимо произвести группировку единиц совокупности по факторному признаку и по каждой группе исчислить среднее значение результативного признака, вариация которого от группы к группе под влиянием группировочного признака будет указывать на наличие или отсутствие взаимосвязи.

Для этого необходимо, прежде всего, определить, какой признак является факторным и какой результативным. Из экономической теории известно, что факторным признаком является среднегодовая стоимость основных фондов, а зависящим результативным признаком будет служить объем выпуска продукции. Следовательно, группировочным признаком будет служить среднегодовая стоимость основных производственных фондов. Для образования групп предприятий по стоимости основных производственных фондов определим величину интервала группировки по формуле:

млн. руб.

Определим группы: 1,2 – 2,7; 2,7 – 4,2; 4,2 – 5,7; 5,7 – 7,2.

Для подсчета числа предприятий в каждой из образованных групп, определения объемов варьирующих признаков в пределах созданных групп построим рабочую таблицу 2.

Таблица 2

Распределение предприятий по среднегодовой стоимости основных фондов

Группы п/п	Группы предприятий по стоимости основных производственных фондов, млн. руб.	Номер и число предприятий	Основные производственные фонды, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.
A	Б
I	1,2- 2,7		1,2 2,4 1,6 2,0 1,7 2,0 2,5 1,6 1,8	3,7 2,9 1,8 2,5 2,3 1,5 3,2 1,9 2,2
	Итого		16,8	22,0
II	2,7 – 4,2		2,8 3,2 3,9 3,3 3,1 3,1 3,5 3,1 2,9 2,9 3,5	2,8 3,2 4,3 1,3 3,4 2,5 4,6 3,6 3,9 3,9 4,5
	Итого		35,3	38,0
III	4,2 – 5,7		4,5 4,9 4,7 5,3 5,6 4,8 4,2	5,6 5,4 4,5 6,4 8,2 6,1 5,6
	Итого		34,0	41,8
IV	5,7 – 7,2		6,5 7,2 7,1	9,8 8,6 9,0
	Итого		20,8	27,4
	Всего		106,9	129,2

Полученные в рабочей таблице показатели по группам занесем в соответствующие строки и графы сводной групповой таблицы 3

Таблица 3

Зависимость выпуска продукции от среднегодовой стоимости основных производственных фондов

Группы п/п	Группы предприятий по стоимости основных производственных фондов, млн. руб.	Число предпри-ятий	Стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.
Всего	В среднем на одно предприятие	Всего	В среднем на одно предприятие
А	Б
I II III IV	1,2 – 2,7 2,7 – 4,2 4,2 – 5,7 5,7 – 7,2		16,8 35,3 34,0 20,8	1,86 3,21 4,85 6,93	22,0 38,9 41,8 27,4	2,44 3,45 5,97 9,13
	Итого		106,9	3,56	129,2	4,31

Данные группировки показывают, что наиболее крупные предприятия имеют лучшие производственные показатели. Сравнение основных производственных фондов по стоимости и среднему выпуску продукции на одно предприятие (гр.3 и 5 табл. 3) по группам показывает, что с ростом стоимости основных производственных фондов увеличивается выпуск продукции в среднем на одно предприятие. Следовательно, между данными признаками существует прямая корреляционная зависимость.

II. Чтобы произвести группировку предприятий по двум признакам, необходимо каждую из образованных групп по размеру стоимости основных производственных фондов разбить на подгруппы по выпуску продукции и дать их характеристику. Представим полученные показатели в комбинационной таблице 4

Таблица 4

Группировка предприятий по стоимости основных производственных

фондов и выпуску продукции

Группы п/п	Группы предприятий	Число пред-приятий	Основные производственные фонды, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.
По стоимости основных производственных фондов, млн. руб.	По выпуску продукции, млн. руб.
Всего	В среднем на одно предприятие	Всего	В среднем на одно предприятие
A	Б	В
I	1.2 – 2,7	1,3 – 3,0 3,0 – 5,0 Свыше 5,0	-	13,1 3,7 -	1,87 1,85 -	15,1 6,9 -	2,15 3,45 -
	Итого			16,8	1,86	22,0	2,44
II	2,7 – 4,2	1,3 – 3,0 3,0 – 5,0 Свыше 5,0	-	9,2 26,1 -	3,06 3,26 -	6,6 31,4 -	2.2 3,92 -
	Итого			35,3	3,20	38,0	3,45
III	4,2 – 5,7	1,3 – 3,0 3,0 – 5,0 Свыше 5,0	-	- 4,7 29,3	- 4,7 4,9	- 4,5 37,3	- 4,5 6,21
	Итого			34,0	4,85	41,8	5,97
IV	5.7 – 7,2	1,3 – 3,0 3,0 – 5,0 Свыше 5,0	- -	- - 20,8	- - 6,93	- - 27,4	- - 9,13
	Итого по подгруппам	1,3 – 3,0 3,0 – 5,0 Свыше 5,0		22,3 34,5 50.1	2,23 3,13 5,57	21,7 42,8 64,7	2,17 3,89 7,18
	Всего			106,9	3,56	129,2	6,31

Данные комбинационной таблицы показывают, что выпуск продукции находится в прямой зависимости от стоимости основных производственных фондов. Эту зависимость можно выявить также с помощью корреляционной таблицы 5.

Корреляционная таблица – это специальная комбинационная таблица, в которой представлена группировка по двум взаимосвязанным признакам: факторному и результативному. Концентрация частот около диагоналей матрицы данных свидетельствует о наличии и направлении корреляционной связи между признаками.

Таблица 5

Распределение предприятий по стоимости основных

производственных фондов и выпуску продукции

Стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.
1,3- -3,0	3,0- -4,7	4,7- -6,4	6,4- -8,1	8,1- -9,8	Итого
А
1,2 – 2,7 2,7 – 4,2 4,2 – 5,7 5,7 – 7,2	- -	-	- - -	- - -	- -
Итого

Как видно из таблицы 5, распределение числа предприятий произошло вдоль диагонали, проведенной из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы, т.е. увеличение признака «стоимость основных производственных фондов» сопровождается увеличением признака «выпуск продукции». Характер концентрации частот по этой диагонали корреляционной таблицы свидетельствует о наличии прямой тесной корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Задача

Имеются данные о группировке предприятий по стоимости основных производственных фондов по двум отраслям промышленности, представленные в таблице 1.8

Для сравнения структуры предприятий по стоимости основных производственных фондов произведите перегруппировку предприятий первой отрасли, взяв за основу распределение предприятий второй отрасли. Сведите полученные данные в таблицу и сделайте выводы.

Таблица 6

I отрасль	II отрасль
Группы предприятий по стоимости основных производственных фондов, млн. руб.	Уд. вес предприятий, %	Группы предприятий по стоимости основных производственных фондов, млн. руб.	Уд. вес предприятий, %
До 10 10 – 12 12 – 15 15 – 20 20 - 30		До 10 10 – 15 15 – 25 25 – 30 Свыше 30
Итого:		Итого

Решение: В первой отрасли надо произвести вторичную группировку, образовав такое же число групп и с теми же интервалами, что и во второй отрасли, для чего произведем следующие расчеты и построим таблицу 7.

Таблица 7

Вторичная группировка предприятий двух отраслей по среднегодовой стоимости основных средств

Группы предприятий по стоимости основных производственных фондов, млн. руб.	Удельный вес предприятий, %
I отрасль	II отрасль
До 10 10 – 15 15 – 25 25 – 30 Свыше 30	10+20 = 30 30 + 11^* = 41

= 11.

В результате перегруппировки получены сопоставимые данные по двум отраслям, которые позволяют сделать вывод о том, что во II отрасли больше предприятий, технически оснащенных (с большим объемом среднегодовой стоимости), чем в I отрасли. Удельный вес предприятий со среднегодовой стоимостью основных фондов, большей 25 млн. руб., во II отрасли 35%, а в I отрасли 19%.

ТЕМА 2: СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Предусматривается решение следующих типов задач:

1) исчисление средней арифметической простой по индивидуальным данным;

2) исчисление средней арифметической взвешенной в дискретном ряде распределения;

3) исчисление средней арифметической взвешенной в интервальном ряде распределения с закрытыми и открытыми интервалами;

4) расчет средней арифметической из групповых средних;

5) расчет средней гармонической;

6) расчет моды;

7) расчет медианы.

Решение типовых задач

Задача

Имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену:

Таблица 8

Номер рабочего
Выпущено изделий за смену, шт.

Определить среднюю выработку продукции рабочими данной группы.

Решение:

В данном случае расчет следует производить по формуле простой средней арифметической:

Простая средняя арифметическая применяется, когда данные первичны, т.е. данные не сгруппированы, представлены индивидуально в виде их перечня в любом порядке или ранжированного ряда.

Задача

Имеются данные о заработной плате работников:

Таблица 9

Месячная заработная плата (х), тыс. руб.	Число рабочих, f	Xf
5,5 6,5 8,0 9,5 11,0
Итого:

Определить среднюю заработную плату работников.

Решение: Основой расчета является экономическое содержание показателя:

тыс. руб.

Частотами (весами) могут быть относительные величины, взятые в процентах или коэффициентах. Метод расчета средней и конечный результат от этого не изменяется.

Представим данные о численности рабочих в условии приведенной выше типовой задачи в относительных величинах:

Таблица 10

Месячная заработная плата (х), тыс. руб.	Число рабочих в % к итогу	Доля рабочих в коэффициентах
5,5 6,5 8,0 9,5 11,0		0,04 0.08 0,16 0,40 0,32	2,20 5.20 12,80 38,00 35,20
Итого:	100,0	1,00	93,40

Средняя заработная плата рабочего, взвешенная по процентным соотношениям, будет равна средней, полученной при решении типовой задачи 2:

;

тыс. руб.

Если весами являются частоты, выраженные в коэффициентах, то вычисления упрощаются; так как сумма коэффициентов всегда равна единице, то расчет средней сводится к определению суммы произведений вариант на частоты (в данном случае коэффициенты):

тыс. руб.

Задача

Имеются следующие данные:

Таблица 11

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих, f	Середина интервала, х	xf
6 – 10 10 – 14 14 – 18 18 – 22 22 - 26
Итого:	100,0

Определите среднюю выработку продукции одним рабочим за смену.

Решение: исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

Чтобы применить эту формулу необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная величина Х

Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:

шт.

Итак, все рабочие произвели 1500 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 15 шт.

В данном ряду варианты осредняемого признака представлены в виде закрытых интервалов. Преобразуем рассмотренный ряд в ряд с открытыми интервалами.

Таблица 12

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих, f


до 10 10 – 14 14 – 18 18 – 22 свыше 20
Итого:

В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы – величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

Задача

Выработка продукции за смену на предприятии характеризуется следующими данными:

Таблица 13

Бригада, №	Дневная выработка продукции, шт.(x)	Число рабочих, чел. (f)
I II III

Определить среднедневную выработку продукции рабочих цеха.

Решение: Основой расчета является экономическое содержание показателя:

Расчет производим по средней арифметической взвешенной:

В этой задаче варианты (дневная выработка продукции) являются не индивидуальными, а средними по бригаде величинами. Весами выступает число рабочих в бригаде.

- объем произведенной продукции на предприятии.

шт.

Задача

Определить средний процент выполнения плана прибыли акционерным обществом (АО)

Таблица 14

Предприятия АО	Плановая прибыль за 1 год, млн. руб. (f)	Выполнение плана прибыли, %. (х)

Итого:

Требуется определить средний процент выполнения плана прибыли АО.

Решение: Основой расчета является экономическое содержание показателя:

В этой задаче варианты (процент выполнения плана прибыли) являются не индивидуальными, а средними по предприятию. Веса представлены плановой прибылью. При вычислении среднего процента выполнения плана прибыли следует использовать формулу средней взвешенной арифметической величины:

где - фактическая прибыль, получаемая путем умножения вариант (процент выполнения плана прибыли) на веса (плановая прибыль).

или 93,68%.

Произведя вычисления, варианты (х) лучше брать в коэффициентах. Это позволяет получить фактический объем прибыли в абсолютных значениях (млн. руб.) как в целом, так и по каждому предприятию АО, что дает возможность сравнивать фактическую прибыль с плановой, находить абсолютные приросты прибыли, производить сравнения.

Наряду со средней арифметической в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Задача

Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем акционерным обществам (АО) характеризуются следующими данными:

Таблица 15

Предприятия (АО)	Издержки производства, млн. руб. (М)	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб. (Х)

Итого:

Определить среднюю себестоимость изделия А по трем АО:

Решение: Основой расчета является экономическое содержание показателя:

В условии задачи даны себестоимость единицы продукции (Х) и издержки производства ( ), поэтому исходя из экономического содержания показателя надо применять среднюю гармоническую взвешенную:

тыс. руб.

Задача

Имеются данные о распределении рабочих по затратам времени на обработку одной детали:

Таблица 16

Затраты времени на одну деталь, мин.	Число рабочих, чел. (f)
А
4 – 5 5 – 6 6 – 7 7 – 8 8 – 9 9 – 10 10 - 11
Итого:

Определить обобщающие характеристики:

1) средние затраты времени на обработку одной детали;

2) моду;

3) медиану.

Решение:

1. В интервальном ряду распределения с равными интервалами среднее значение признака определяется по формуле средней арифметической взвешенной

мин.

Таблица 17

Рабочая таблица

Затраты времени на одну деталь, мин.	Число рабочих, чел. (f)	X	Хf	Накопленные частоты, (F)

4 – 5 5 – 6 6 – 7 7 – 8 8 – 9 9 – 10 10 - 11		4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5	36,0 99,0 149,5 225,0 102,0 57,0 31,5
Итого:			700,0

2. Значение признака, наиболее часто встречающееся в совокупности, называется модой. Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле

где х₀ – нижняя граница модального интервала;

i - величина интервала группировки;

f₁ - частота интервала, предшествующему модальному;

f₂ - частота модального интервала;

f₃- частота интервала следующего за модальным.

мин.

3. Медианой называется значение признака у единицы, стоящей в середине ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части. Для интервального вариационного ряда медиана определяется по формуле:

где х₀ – нижняя граница медианного интервала;

i – величина интервала группировки;

N_Ме – номер медианы ( );

F_Ме-1 – накопленная частота интервала предшествующего медианному;

f_Ме – частота медианного интервала.

мин.

Таким образом, одна половина рабочих затрачивает на обработку детали до 7,033 мин., другая свыше 7,033 мин.

В симметричных совокупностях три обобщающие характеристики равны между собой . Для общественно-экономических явлений характерны асимметричные распределения. В них замечается определенная тенденция удлиняться в какую – либо сторону (левую или правую) от точки наибольшей плотности. Различают два типа асимметрии: правостороннюю, где и левостороннюю, где .

Наличие скошенности в рядах однородных совокупностей служит косвенным указанием на то, что исследуемый процесс проходит активную стадию развития. При исследовании вариации признаков, относительно которых имеется заинтересованность в их увеличении (выполнение норм, производительность труда, выпуск продукции и т.д.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о прогрессивном развитии, о том, что оно идет в сторону увеличения показателя, а левосторонняя асимметрия указывает на наличие большого количества отстающих участков. При исследовании вариации признаков, относительно которых имеется заинтересованность в их уменьшении (себестоимость, трудоемкость и т.д.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о недостаточном развитии изучаемого процесса, левосторонняя – об успешном его развитии.

В нашем примере исчисленные обобщающие характеристики показывают левостороннюю асимметрию в распределении рабочих по затратам рабочего времени на изготовление одной детали ( = 7–7,28 = -0,28 < 0). Эти данные говорят о прогрессивности развития явления. Увеличение доли рабочих с меньшими затратами времени на одну деталь, в конечном счете, приводит к эффективности использования рабочего времени.

ТЕМА 3: ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Предусматривается решение следующих типов задач:

1. Определение показателей вариации (размаха вариации , среднего линейного отклонения , среднего квадратичного отклонения , дисперсии , коэффициента вариации ).

2. Расчет групповой, межгрупповой и общей дисперсий по правилу сложения дисперсий, коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Решение типовых задач

Задача

При изучении норм расхода сырья получили следующее распределение изделий по весу:

Таблица 18

Вес изделий, г.	Число изделий, шт.
До 20 20 – 22 22 – 24 24 – 26 Свыше 26
Итого

Вычислите:

1) среднее линейное отклонение;

2) среднее квадратическое отклонение;

3) коэффициент вариации.

Решение:

1. В вариационном ряду среднее линейное отклонение определяется по формуле:

, где .

Расчет этой величины удобно осуществлять в таблице.

Таблица 19

Вес изделий, г.	Число изделий, (f)	Х	Хf		\| \|f	( )²	( )²f
До 20 20 – 22 22 – 24 24 – 26 Свыше 26				-3,7 -1,7 0,3 2,3 4,3	37,0 34.0 1,5 34,5 21,5	13,69 2,89 0,09 5,29 18,49	136,90 57,80 4,500 79,35 92,45
Итого							371,00

г. г.

Следовательно, вес изделий отклоняется от среднеарифметического веса в среднем на 1, 285 г.

2. Среднее квадратическое отклонение вариационного интервального ряда определяется по формуле:

Предоставив необходимые расчеты в таблице, подсчитаем:

г.

3. Коэффициент вариации:

Так как V<40% , то средний вес изделий, равный 22,7 г., является типичной величиной в данной однородной совокупности, и вес изделий от среднего веса в среднем отклоняется на 1,9 или на 8,48%.

Задача

Имеются данные о производительности труда рабочих:

Таблица 20

Табельный номер рабочего	Произведено продукции за смену, шт. (х)
В дневную смену	В ночную смену

Определите:

1) частные дисперсии;

2) среднюю из частных дисперсий;

3) межгрупповую дисперсию;

4) общую дисперсию (по правилу сложения дисперсий и обычным способом);

5) эмпирическое корреляционное отношение.

Сделайте выводы.

Решение:

Это первичные данные.

1. Для расчета групповых дисперсий воспользуемся формулой:

, где .

Расчет дисперсий по группам представим в таблице 21:

Таблица 21

шт. шт.

Подставив полученные значения в формулу, получим:

2. Средняя из групповых дисперсий равна:

3. Для определения межгрупповой дисперсии предварительно следует подсчитать общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

шт.

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию:

4. Общую дисперсию исчислим по правилу сложения дисперсий:

Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию обычным способом:

4) Коэффициент детерминации равен:

или 15,2 %.

Эмпирическое корреляционное отношение составит:

;

Коэффициент детерминации показывает, какая доля всей вариации признака обусловлена фактором, положенным в основу группировки. Коэффициент детерминации = 15,2%, следовательно, фактор времени работы (ночное или дневное) на 15,2 % обуславливает вариацию производительности труда рабочих. Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками. Корреляционное отношение изменяется от 0 до 1.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю. В этом случае дисперсия групповых средних будет равна нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии ( ), т е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого признака. Чем больше значение приближается к единице, тем полнее, ближе к функциональной зависимости корреляционная связь между признаками.

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя можно воспользоваться следующей таблицей (шкалой Чеддока):

Таблица 22

Величина	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Сила связи	слабая	умеренная	заметная	тесная	Весьма тесная

Убедившись с помощью группировки и , что связь достаточно тесная, можно перейти к корелляционно-регрессионному анализу.

В нашем примере =0,389, что говорит об умеренной связи между временем работы рабочих (ночное или дневное) и их производительностью труда.

ТЕМА 4: СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

Решения типовых задач

Задача

Определите вид корреляционной зависимости, постройте уравнение регрессии, рассчитайте параметры уравнения, вычислите тесноту связи. Объясните полученные статистические характеристики.

Таблица 23

Срок выдачи кредита дней