Перпендикуляр и наклонная
Теорема. Если из одной точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонные, то: 1) наклонные, имеющие равные проекции, равны; 2) из двух наклонных больше та, проекция которой больше; 3) равные наклонные имеют равные проекции; 4) из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной. Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной (рис.3). Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
Рис. 3 Пример 1. Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости. Решение. Анализ. Предположим, что прямая построена (рис. 4). Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости (по признаку параллельности прямой и плоскости). Две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Значит, построив плоскость, проходящую через данную точку и произвольную прямую в данной плоскости, можно будет построить параллельную прямую.
Рис. 4 Построение. 1. На плоскости a проводим прямую а. 2. Прямая а и точка А задают плоскость. Построим плоскость b. 3. В плоскости b через точку А проведем прямую b, параллельную прямой а. 4. Построена прямая b параллельная плоскости a. Доказательство. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая b параллельна плоскости a, так как она параллельна прямой а, принадлежащей плоскости a. Исследование. Задача имеет бесконечное множество решений, так как прямая а в плоскости a выбирается произвольно. Пример 2.Определите, на каком расстоянии от плоскости находится точка А, если прямая АВ пересекает плоскость под углом 45º, расстояние от точки А до точки В, принадлежащей плоскости, равно см? Решение. Сделаем рисунок (рис. 5):
Рис. 5 АС – перпендикуляр к плоскости a, АВ – наклонная, угол АВС – угол между прямой АВ и плоскостью a. Треугольник АВС – прямоугольный так как АС – перпендикуляр. Искомое расстояние от точки А до плоскости – это катет АС прямоугольного треугольника. Зная угол и гипотенузу см найдем катет АС: Ответ: 3 см. Пример 3.Определите, на каком расстоянии от плоскости равнобедренного треугольника находится точка, удаленная от каждой из вершин треугольника на 13 см, если основание и высота треугольника равны по 8 см? Решение. Сделаем рисунок (рис. 6). Точка S удалена от точек А, В и С на одинаковое расстояние. Значит, наклонные SA, SB и SC равные, SO – общий перпендикуляр этих наклонных. По теореме о наклонных и проекциях АО = ВО = СО. Точка О – центр окружности описанной около треугольника АВС. Найдем ее радиус:
Рис. 6
где ВС – основание; AD – высота данного равнобедренного треугольника. Находим стороны треугольника АВС из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора: Теперь находим ОВ: Рассмотрим треугольник SOB: SB = 13 см, ОВ = = 5 см. Находим длину перпендикуляра SO по теореме Пифагора: Ответ: 12 см. Пример 4. Даны параллельные плоскости a и b. Через точку М, не принадлежащую ни одной из них, проведены прямые а и b, которые пересекают a в точках А1 и В1, а плоскость b – в точках А2 и В2. Найти А1В1, если известно, что МА1 = 8 см, А1А2 = 12 см, А2В2 = 25 см. Решение. Так как в условии не сказано, как расположена относительно обеих плоскостей точка М, то возможны два варианта: (рис. 7, а) и (рис. 7, б). Рассмотрим каждый из них. Две пересекающиеся прямые а и b задают плоскость. Эта плоскость пересекает две параллельные плоскости a и b по параллельным прямым А1В1 и А2В2 согласно теореме 5 о параллельных прямых и параллельных плоскостях.
Рис. 7
Треугольники МА1В1 и МА2В2 подобны (углы А2МВ2 и А1МВ1 – вертикальные, углы МА1В1 и МА2В2 – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А1В1 и А2В2 и секущей А1А2). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: Отсюда Вариант а): Вариант б): Ответ: 10 см и 50 см. Пример 5. Через точку А плоскости g проведена прямая АВ, образующая с плоскостью угол a. Через прямую АВ проведена плоскость r, образующая с плоскостью g угол b. Найти угол между проекцией прямой АВ на плоскость g и плоскостью r. Решение. Сделаем рисунок (рис. 8). Из точки В опустим перпендикуляр на плоскость g. Линейный угол двугранного угла между плоскостями g и r – это угол Прямая AD перпендикулярна плоскости треугольника DBC, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как и По признаку перпендикулярности плоскостей плоскость r перпендикулярна плоскости треугольника DBC, так как она проходит через прямую AD. Искомый угол построим, опустив перпендикуляр из точки С на плоскость r, обозначим его Найдем синус этого угла прямоугольного треугольника САМ. Введем вспомогательный отрезок а = ВС. Из треугольника АВС: Из треугольника ВМС найдем
Тогда искомый угол
Рис. 8
Ответ:
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1025)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |