Операции во временной области

 

Рассмотрим последовательность коэффициентов отражения, представленную временным рядом (1, 0, ). Рассмотрим также импульсный источник, который дает взрыв на время t=0 с амплитудой 1. Отклик последовательности коэффициентов отражения на импульс называется импульсным откликом (impulse response). Этот физический процесс может быть описан следующим образом:

Через одну единицу времени предположим, что источник формирует импульс (impulsion) с амплитудой - . Этот процесс описывается следующим образом:

Обратите внимание, что отклик представляет собой последовательность коэффициентов отражения, масштабированную интенсивностью импульса. Поскольку функция источника рассматривается как последовательность взрывных импульсов и импульсов, вызванных резким уменьшением давления в ограниченном объеме (implosive impulses), отдельные импульсные отклики складываются с целью получения комбинированного отклика. Этот процесс называется линейной суперпозицией и описан в таблице 1-1.

Рис.1-17 Форма нуль-фазового импульса (а) может быть модифицирована путем введения не нуль-фазового спектра любой формы (изображения b, c, d).

 

В таблице 1-1 звездочка обозначает свертку. Отклик последовательности коэффициентов отражения (1, 0, ) на импульс источника (1, ) ,был получен путем свертки двух последовательностей. Это выполняется путем расчетов, как показано в таблице 1-2.

Фиксированный ряд задан по последовательности коэффициентов отражения. Импульс источника обращается (складывается) и перемещается (задерживается) на одну выборку за один раз. При каждой задержке выровненные элементы перемножаются и полученные произведения складываются. Механизм сверки показан в таблице 1-3. Количество элементов выходного ряда c(k) задается как m + n – 1, где m и n – длины соответственно ряда операндов a(i) и ряда операторов a(j).

Когда функции рядов в таблице 1-2 меняются местами, получается ряд, показанный в таблице 1-4. Выходная характеристика получается такая же, как в таблице 1-2. Следовательно, не имеет значения, какой ряд при свертке является фиксированным, а какой – скользящим.

Сейсмическая обработка часто требует измерения сходства или выравнивания времен двух трасс. Корреляция представляет собой другую операцию во временной области, которая используется для импульса:

Импульс 1: (2, 1, -1, 0, 0)

Импульс 2: (0, 0, 2, 1, -1)

Хотя эти импульсы идентичны по форме. Импульс 2 смещен на 2 выборки относительно импульса 1. Можно определить временную задержку, при которой импульсы будут иметь наибольшее сходство. Для этого выполним операцию на импульсе 1, как описано в таблице 1-3, не обращая импульс 2 (т.е. шаг 0 пропускается). Это называется взаимной корреляцией, результат которой показан в таблице 1-5. Взаимная корреляция измеряет степень сходства двух последовательностей. Взаимная корреляция временной последовательности с ней самой называется автокорреляцией.

Из таблицы 1-5 видно, что максимальная корреляция наблюдается при задержке, равной –2. Это предполагает, что импульс 2 был смещен на две выборки назад во времени, эти два импульса (импульс 1 и импульс 2) будут иметь максимальное сходство.

Таблица 1-6 показывает значения взаимной корреляции. Являющиеся результатом перестановки рядов местами. Теперь максимальная корреляция наблюдается при задержке равной 2. Следовательно, если импульс 1 смещается во времени на две выборки вперед, эти два импульса будут характеризоваться максимальным сходством. Отметим также, что, в отличии от свертки, взаимная корреляция не обладает свойством коммутативности, т.е. результат зависит от того, какой ряд является фиксированным, а какой – скользящим (сравните результаты в таблицах 1-5 и 1-6).

В таблице 1-7 показаны задержки автокорреляции импульса 1. Отметим, что максимальная корреляция имеет место при нулевой задержке – это важное свойство автокорреляции. Более того функция автокорреляции является симметричной: это свойство действительной временной последовательности. Следовательно, необходимо рассчитывать только одну сторону ФАК.

В разделе 1.2.4 показано с эвристической точки зрения, что свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области (Bracewell, 1965). Поскольку корреляция представляет собой свертку без обращения скользящего ряда (см. таблицу 1-3), к корреляции также применяется сходная операция в частотной области. На рис.1-18 в обобщенном виде дается описание свертки и корреляция в частотной области.

 

Таблица 1-1 Линейная суперпозиция.

Суперпозиция:

В другом виде: (1, 0, )*(1, - ) = (1, - , , - )

Таблица 1-2 Сверка импульса источника (1, - ) с последовательностью коэффициентов (1, 0, ).

 

Таблица 1-3 Механика процесса сверки.

Фиксированный ряд:

а(1) а(2) а(3) а(4) а(5) а(6) а(7) а(8)

Скользящий ряд:

b(1) b(2) b(3)

При двух данных рядах а(i) и b(j):

Шаг 0 = обратить скользящий ряд b(j).

Шаг 1 = выполнить умножение по вертикали.

Шаг 2 = сложить произведения и записать в виде результирующей точки c(k).

Шаг 3 = сместить ряд b(j) на одну выборку вправо и повторить шаги 1 и 2

Таблица 1-4 Свертка последовательности коэффициентов отражения (1, 0, ) с импульсом источника (1, - ).

 

Таблица 1-5 Взаимная корреляция импульса 1 с импульсом 2.

 

Таблица 1-6 Взаимная корреляция импульса 2 с импульсом 1.

 

Таблица 1-7Автокорреляция импульса 1.

 

Рис.1-18Описание свертки и корреляции в частотной области.

Из рис.1-18 видно, что свертка и корреляция дают результат, спектральная полоса пропускания которого является общей для обеих входных последовательностей. Примером может служить процесс полосовой фильтрации. Отметим также, что фазы являются аддитивными при свертке и субтрактивными при корреляции (Bracewell, 1965). Для автокорреляции это означает, что выходная последовательность является нуль-фазовой. Этот факт уже был проверен примером в таблице 1-7, где показано, что ФАК является симметричной относительно нулевой задержки. Взаимная корреляция широко используется в качестве меры сходства на различных стадиях обработки данных.

Например, рассчитывается ФВК трасс в выборке ОСТ (общих средних точек) с опорной трассой с целью расчета смещений, вызванных остаточной статикой (см. Раздел 3.4). Основой для расчета скоростного спектра также является взаимная корреляция. “Компновочные блоки” фильтра Винера (раздел 2.6) представляют собой взаимную корреляцию желательного импульса на выходе со входным импульсом и корреляцию входного импульса.

Другим важным процессом является корреляция вибросейса. Сюда входит взаимная корреляция частотно-модулированного сигнала источника (свип-сигнал) с зарегистрированной трассой вибросейса. Свип-сигнал представляет собой частотно-модулированный сигнал вибросейса, подаваемый в разрез. Модуль фильтрации для вибросейсмических данных рассмотрен в разделе 2.7.7. На рис.1-19 показан свип-сигнал, зарегистрированная выборка ОПВ и коррелированная выборка. Длина свип-сигнала равна 10с, полоса частот – от 6 до 60Гц. 15-секундная некорректированная запись вибросейса дает 5-секундную коррелированную запись. Отметим, что верхняя часть некоррелированной записи содержит низкочастотную энергию; в нижней части записи повышается содержание высоких частот. Это связано с тем, что в этом примере данных было использовано свипирование в направлении роста частот.

 

Частотная фильтрация

 

Что случается с импульсом, когда его амплитудный спектр изменяется при сохранении нуль-фазового характера? Рассмотрим импульс (суммированную трассу 1), являющийся результатом наложения двух весьма низкочастотных компонент (рис.1-20). Затем в Фурье-синтез добавим частотные компоненты с возрастающей частотой (суммированные трассы 2-5). Обратите внимание, что импульс во временной области сжимается по мере расширения полосы пропускания частот. В конечном счете, если в обратное преобразование Фурье включены все частоты, результирующий импульс становится единичным, как видно на рис.1-21 (суммированная трасса 6). Следовательно, единичный импульс характеризуется как синфазный синтез всех частот – от нуля до частот Найквиста. Для всех частот амплитудный спектр единичного импульса также является единичным, а фазовый спектр равен нулю.

На рис.1-22 представлены 5 нуль-фазовых импульсов, синтезированных так, как показано на рис.1-20. Все эти импульсы имеют амплитудные спектры в ограниченной полосе частот. Нуль-фазовый импульс в ограниченной полосе частот может быть использован для фильтрации сейсмической трассы. Выходная трасса содержит только те частоты, которые образуют импульс, используемый при фильтрации. Представление импульса во временной области называется оператором фильтра. Отдельные временные выборки этого оператора называются коэффициентами фильтра. Процесс, описанный здесь, представляет собой нуль-фазовую частотную фильтрацию, т.к. он не модифицирует фазовый спектр входной трассы, а просто ограничивает полосу пропускания ее амплитудного спектра.

Фильтрация в частотной области включает умножение амплитудного спектра входной сейсмической трассы на амплитудный спектр оператора фильтра. Эта процедура описана на рис.1-23. С другой стороны, процесс фильтрации во временной области включает свертку оператора фильтра со входным временным рядом. На рис.1-24 в обобщенном виде представлена конструкция фильтра и его применение во временной области. Формулировки процесса фильтрации в частотной и временной областях (рис.1-23 и 1-24) основаны на следующей важной концепции анализа временных рядов: свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области. Аналогично, свертка в частотной области эквивалентна умножению во временной области (Bracewell, 1965).

Частотная фильтрация может принимать форму полосового фильтра ФВЧ, ФНЧ или полосового режекторного фильтра. Все эти фильтры основаны на одном принципе: построение нуль-фазового импульса с амплитудным спектром, который отвечает одной из четырех спецификаций. Полосовой фильтр используется чаще всего, т.к. сейсмическая трасса некоторое количество низкочастотных помех, таких как поверхностная волна, и некоторое количество низкочастотных помех, таких как поверхностная волна, и некоторое количество высокочастотных помех окружающей среды. Полезная отраженная сейсмическая энергия обычно ограничена полосой 10-70Гц с преобладанием частот около 30Гц.

Полосовая фильтрация выполняется на различных стадиях обработки данных. При необходимости она может быть выполнена деконволюцией с целью подавления остаточной энергии поверхностной волны и высокочастотных помех окружающей среды, которая в противном случае будет осложнять ФАК сигнала. Узкополосная фильтрация может быть необходимой перед взаимным коррелированием трасс в выборке ОСТ с опорной трассой с целью использования в оценке смещений, вызванных остаточной статикой (Раздел 3.4). Полосовая фильтрация может быть также выполнена перед расчетом ФВК при построении скоростного спектра для улучшенного пикинга скорости (Раздел 3.3). Наконец, стандартным является применение изменяющегося во времени полосового фильтра к суммированным данным (см. в этом разделе).

 

Практические аспекты конструкции фильтра

 

Применение фильтра в частотной или временной области (рис.1-23 и 1-24) дает в основном идентичные результаты. На практике предпочтительнее фильтрация во временной области, т.к. свертка, которая использует короткий ряд (оператор фильтра) более экономична, чем преобразование Фурье.

Основываясь на рис.1-22, можно утверждать, что основным свойством частотных фильтров является следующее: чем шире полоса пропускания, тем больше сжат оператор фильтра; следовательно, тем меньше требуется коэффициентов фильтра. Это свойство так же следует из следующей фундаментальной концепции: эффективный диапазон временного ряда обратно пропорционален его эффективной спектральной полосе пропускания (Bracewell, 1965).

При разработке полосового фильтра цель состоит в пропускании определенной полосы частот с минимальными изменениями (или без изменений) и в максимальном подавлении оставшейся части спектра (пока это –будет практично). С начла, представляется, что этой цели можно достичь, определив желательный амплитудный спектр для оператора фильтра следующим образом:

f₁ и f2 – частоты среза (граничные частоты). Такой спектр известен как прямоугольный (boxcar) амплитудный спектр. Чтобы проанализировать свойства каждого фильтра, выполним следующую последовательность операций:

Определение прямоугольного

амплитудного спектра и

нуль-фазового спектра

|

Обратное БПФ

|

Оператор фильтра

|

Усечение

|

Прямое БПФ

|

Расчет действительного

амплитудного спектра

Рис.1-19 Корреляция данных вибросейса для получения коррелированных полевых данных. Свип-сигнал длиной 10с и запись данных длиной 15с дают коррелированную запись длиной 5с.

 

На рис.1-25а показаны результаты этой последовательности операций. Оператор показан вверху; действительный и желательный (прямоугольный) амплитудный спектр наложены друг на друга внизу. Действительный спектр имеет осциллирующий (ringy) характер; это известно как явление Гиббса (Bracewell, 1965) и является результатом представления прямоугольной функции конечным числом коэффициентов Фурье. С практической точки зрения осциллирование нежелательно, т.к. некоторые из частот в полосе пропускания усиливаются, а остальные ослабляются. Кроме того, пропускаются некоторые частоты в зонах подавления по обеим сторонам прямоугольной функции. Как можно поправить положение? Вместо определения полосы пропускания в виде прямоугольной функции определим наклон обеих сторон (рис.1-25b), т.е. полоса пропускания имеет вид трапеции. Сейчас между действительным и желательным амплитудными спектрами имеется большее сходство и оператор является более сжатым (он имеет меньше ненулевых коэффициентов). Однако, при получении более сжатого оператора относительно формы спектра был принят компромисс и полоса пропускания стала шире. Чтобы получить удовлетворительные результаты, такие как на рис.1-25с, где действительный и желательный спектры приблизительно одинаковы, а оператор сжат, наклоны боковых сторон трапеции должны быть достаточно пологими. Это лучше с практической точки зрения, т.к. предпочтительнее работать с короткими операторами. Рекомендуется задавать более пологий наклон на высокочастотной стороне полосы пропускания. Наконец, при определении полосы пропускания в форме трапеции на частотах излома (А, В, С, D –рис.25с) необходимо применить сглаживание, т.к. преобразование Фурье существует только для непрерывных функций (Bracewell, 1965).

Рис.1-20 Суммирование нуль-фазовых синусоид с идентичными амплитудами пиков. Результаты каждого суммирования пронумерованы от 1 до 5. По мере расширения полосы пропускания частот происходит сжатие синтезированного нуль-фазового импульса.

 

Рис.1-21 Результирующий импульс превратился в единичный (трасса 6) при суммировании синусоид на всех частотах до частоты Найквиста. Сравнените с трассами 1-5 на рис.1-20. Что обусловило специфический характер амплитудной модуляции выше 84Гц?

 

Рис.1-22 Последовательность нуль-фазовых импульсов (верхний ряд) и их амплитудные спектры (нижний ряд). Помере расширения полосы пропускания импульс сжимается во времени.

 

Рис.1-23 Конструкция и применение нуль-фазового импульса в частотной области.

Рис.1-24 Конструкция нуль-фазового и его применение в частотной области.

 

Насколько коротким может быть оператор? На рис.1-26 показана последовательность операторов с увеличивающейся длиной. Избыточное усечение обуславливает большее отклонение амплитудного спектра от желательной формы, хотя для полосы пропускания определены достаточные углы наклона. Это можно видеть на рис.1-26, где длина оператора обозначена утолщением линиями. Удлинение оператора сближает формы желательного и действительного спектров, но имеется определенная длина, при превышении которой к оператору добавляются почти нулевые коэффициенты. Полоса пропускания частот обратнопропорциональна эффективной длине оператора (рис.1-22) и этот критерий используется для выбора длины оператора.

Рис.1-25 Три нуль-фазовых импульса (верхний ряд) и их амплитудные спектры (нижний ряд). (а) Если полоса пропускная характеризуется крутым наклоном, в импульсе и в действительном амплитудном спектре появляется пульсация. (b) В случае умеренного и (с) пологого наклона пульсация устраняется. О точка А, В, С, D см. в тексте.

 

Рис.1-26 Утолщенные линии обозначают действующую длину (т.е. коэффициенты не равны нулю) оператора полосового фильтра. Сильное усечение (а) обуславливает значительное отклонение действительного амплитудного спектра от желательного (в форме трапеции).

 

Рис.1-27 Два импульса (верхний ряд) с одной и той же шириной полосы пропускания (нижний ряд); центр полосы пропускания левого импульса находится на 15Гц, а правого – на 35Гц. Оба импульса характеризуются наличием пульсации, но в одном случае пульсация является низкочастотной, а в другом – низкочастотной. Одно только наличие низких или высоких частот недостаточно; в том и в другом случае необходимо повышение разрешающей способности.

 

Ширина полосы пропускания и вертикальная разрешающая способность

 

Частотная фильтрация тесно связана с вертикальной (временной) разрешающей способностью сейсмических данных. Рассмотрим операторы фильтров на рис.1-27. Оба фильтра имеют одинаковую ширину полосы пропускания (разность между верхней и нижней частотами среза); следовательно, ожидающие двух операторов идентичны. Большая склонность к осцилляции второго оператора (рис.1-27b) обусловлена его меньшим коэффициентом пропускания (bandwidth ratio), т.е. отношением верхней частоты среза к нижней части среза.

Распространенным ошибочным мнением является то, что для повышения временной разрешающей способности необходимы только высокие частоты. Это неправильно. На верхнем изображении рис.1-28 показана одна

отражающая поверхность и три набора отражающих поверхностей, разнесенных на 48,24 и 12мс. Как показано на нижних изображениях, к этим данным применена последовательность узкополосных фильтров. Отражающие поверхности, разнесенные на 48мс, разрешаются достаточно хорошо с помощью полосы пропускания 10 – 20Гц, но поверхности, расположенные ближе друг к другу, этот фильтр не различает. В полосе 20 – 30Гц поверхности, разнесенные на 48мс, слова хорошо разделяются. Тем не менее, ни один из узкополосных фильтров не обеспечивает хорошей разрешающей способности. Следовательно, одних лишь низких или высоких частот недостаточно для улучшения временной разрешающей способности; для этого необходимы как низкие, так и высокие частоты. Это показано на рис.1-29. Близко расположенные отражающие поверхности могут быть разрешены при наличии расширяющейся полосы пропускания. Полоса 10 – 30Гц достаточна для разрешения отражающих поверхностей, разнесенных на 48мс. Полоса 10 – 50Гц обеспечивает разрешение поверхностей, разнесенных на 24мс. Для того, чтобы разрешить отражающие поверхности, разнесенные на 12мс, необходима полоса пропускания шириной 10 – 100Гц. Между величиной, характеризующей удаление отражающих поверхностей друг от друга, и требуемой шириной полосы пропускания имеется тесная взаимосвязь (см. Раздел 8.3).

Рис.1-28 Вверху – модуль отражательной способности, которая состоит их (слева на право): трех отражающих поверхностей, разнесенных на 48мс, трех отражающих поверхностей (ОП), разнесенных на 24мс, трех ОП, разнесенных на 12мс и одной ОП на времени1с. Отклик в ограниченной полосе пропускания (ширина полосы, центрированной на различных частях, равна 10Гц) не обеспечивает хорошей разрешающей способности.

 

Фильтрация, изменяющаяся во времени

 

Спектр сейсмических волн, особенно его высокочастотная часть, подвержен поглощению по пути распространения вследствие затухания, присущего разрезу (Раздел 1.5). Рассмотрим часть суммированного разреза и изображения, каждое из которых соответствует узкополосной фильтрации (рис.1-30). Сигнал присутствует в полосах (сверху в низ): 10 – 20Гц, 20 – 30Гц, 30 – 40Гц. Помехи отмечаются ниже 3.2с в полосе 40 – 50Гц. В случае более высокочастотных полос эти помехи быстро нарастают до меньших времен. Например, полоса 50 – 60Гц содержит полезный сигнал до времени 2.6, тогда как в полосах 60 – 70Гц и 70 – 80Гц полезный сигнал содержится только до времени 1.8с. Более высокочастотные полосы полезного сигнала ограничены верхней частью разреза. Следовательно, временная разрешающая способность значительно снижена в глубоких частях разреза. С практической точки зрения изменяющаяся во времени ширина полосы пропускания сигнала требует применения частотных фильтров, которые также изменяются во времени. Такие фильтры обеспечивают устранение помех окружающей среды, которые начинают преобладать над сигналом

Рис.1-29 Верхний разрез – та же самая модель отражательной способности, что и на рис.1-28. Сильно разнесенные ОП (48мс) разрешаются с помощью полосы пропускания 10-30Гц. Для разрешения ОП, разнесенных на времена 24 и 12мс требуются более широкие полосы пропускания.

на поздних временах, и получение более четкого разреза. По рис.1-30 выбраны следующие параметры фильтров, изменяющихся во времени (TVF):

На практике выполняют смешивание фильтров по прилегающим временным окнам, чтобы получить плавный переход участков полосы пропускания. Для некоторых данных поддерживается широкая полоса пропускания по всей протяженности. Для суммированного разреза на рис.1-31 допустима широкополосная фильтрация во всем временном диапазоне. Вторая последовательность полосовых фильтров (рис.1-32) позволяет подобрать ширину полосы пропускания для данного временного окна. Здесь мы начинаем с узкополосного фильтра в низкочастотном конце спектра и постепенно расширяем полосу пропускания, включая более высокие частоты.

Обычно фильтры, изменяющиеся во времени применяются на суммированных данных. При фильтрации двух наборов данных, полученных в различные годы, с помощью различных источников или с различными уровнями помех необходимо установить равномерную полосу пропускания. Это особенно важно при попытке увязки двух профилей и отслеживания по ним отражающей поверхности. Интерпретатор использует частотную характеристику маркирующего горизонта в качестве опорной в процедуре отслеживания. Следовательно, два пересекающихся профиля должны быть отфильтрованы так, чтобы при переходе с одного профиля на другой сохранялся характер отражения.