Теоретические сведения. Вычислительная математика
Вычислительная математика Методические указания по выполнению лабораторных работ
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЕТА
На титульном листе указываются: вуз, кафедра, тема, автор, научный руководитель, город, год написания.
В отчете указывается номер лабораторной работы, формулируется задание, подробно описывается его решение с приложением необходимых скриншотов. Лабораторная работа №1 Тема. Решение уравнений. Задание 1. Отделить корни графически и уточнить любой корень с точностью до 0,001 методом деления пополам. № 1. ; (кроме х=0) № 2. ; № 3. ; № 4. ; № 5. ; № 6. ; № 7. № 8. № 9. (кроме х=0) № 10. № 11. № 12. № 13. № 14. № 15. № 16. (кроме х=0) № 17. № 18. № 19. № 20. Образец выполнения задания.Найти один корень . Перепишем уравнение в виде и построим графики левой и правой частей в Excel, изменяя х от 0,5 до 3 с шагом 0,5. В первой строке вводим значения переменной, во второй и третьей – вычисляем значения функций. Используем инструмент «вставка – точечная» для построения графиков. Рис. 1 Уточним корень на отрезке [1;2]. Для этого составим таблицу:
Таблица1 Длина последнего отрезка меньше 0,001, поэтому корень приближенно равен его середине, то есть
Задание 2. Отделить корни графически и уточнить с точностью до 0,001 больший корень обоих уравнений методами хорд и Ньютона. № 1. 1) 2) № 2. 1) 2) № 3. 1) 2) № 4. 1) 2) № 5. 1) 2) № 6.1) 2) № 7. 1) 2) № 8. 1) 2) № 9. 1) 2) № 10. 1) 2) № 11. 1) 2) № 12. 1) 2) № 13. 1) 2) № 14. 1) 2) № 15. 1) 2) № 16. 1) 2) № 17. 1) 2) № 18. 1) 2) № 19. 1) 2) № 20. 1) 2) Образец выполнения задания.Найти один корень . Перепишем уравнение в виде и построим графики левой и правой частей в Excel, изменяя х от -2 до 2 с шагом 0,5. В первой строке вводим значения переменной, во второй и третьей – вычисляем значения функций. Используем инструмент «вставка – точечная» для построения графиков.
Рис. 2 Уточним корень на отрезке [0;1]. Определим начальную точку . В нашем случае , тогда , на исследуемом отрезке. Так как , , то , в ней совпадают знаки функции и второй производной. Метод хорд.В этом случае , составим вспомогательную таблицу Таблица2 Так как |x5 – x4| = 0,0001 <0,001, то можно принять с точностью . Метод касательных.Для этого метода справедливо , начальная точка выбирается аналогично методу хорд, поэтому удобно воспользоваться следующей таблицей. Таблица 3 Так как |x3 – x2| = 0,0004 <0,001, то можно принять с точностью .
Лабораторная работа №2 Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры, Метод Гаусса 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) , вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы А методом исключения Гаусса. Проверить полученное решение СЛАУ, используя надстройку Excel поиск решения применительно к исходной системе , и найти обратную матрицу при помощи функции МОБР. 2. Сделать выводы о корректности задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).
Теоретические сведения 1.Система линейных алгебраических уравнений в общем случае имеет вид: ,
В некоторых случаях эту систему удобнее записывать в матричной форме: , где А - матрица системы, - вектор решения, - вектор свободных членов.
2. Система (1.1-1.2) имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной (detA¹0). 3. Матрицы А и В являются исходными данными и во многих случаях задаются приближенно. Встает вопрос, как погрешности исходных данных влияют на точность решения. Говорят, задача плохо обусловлена, если она чувствительна к малым изменениям входящих в нее исходных данных. В противном случае – хорошо обусловлена. Обусловленность является качественной характеристикой, хотя мы будем стараться оценить ее и количественно, используя величину меры обусловленности . 4. Величина называется нормой матрицы и определяется по одной из 3-х формул: ; ; . 6.Система (1.1-1.2) является хорошо обусловленной, а ее решение – устойчивым, если мера обусловленности близка единице. 7. Задача решения СЛАУ является корректной, если решение существует и единственно (detA¹0) и устойчиво относительно исходных данных (А и В), т.е. малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения решения задачи. 8. Метод Гаусса (метод последовательного исключения). Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных изсистемы уравнений. Процесс состоит из двух этапов: прямого и обратного ходов. В результате прямого хода система приводится к треугольному виду, а при выполнении обратного хода вычисляются все неизвестные. Образец выполнения задания.Найти решение системы линейных алгебраических уравнений используя алгоритм метода Гаусса. Введем расширенную матрицу системы, как показано на рис.3 в ячейки А3:D5. Первый этап, приведение матрицы системы к треугольной. 1. Поделим элементы первой строки на а11 .Для этого в ячейку А7 введем формулу А7=А3/A$3$ и скопируем ее вправо до конца строки. 2. Умножим элементы первой строки на (-а21 ) и прибавим ко 2-ой строке. Для этого введем формулу А8=А7(-А$4$)+А4 и скопируем ее вправо до конца строки. 3. Умножим элементы первой строки на (-а31 ) и прибавим к 3-ей строке. Для этого введем формулу А9=А7(-А$5$)+А5 и скопируем ее вправо до конца строки. Таким образом исключили неизвестное х1 из 2-го и 3-го уравнений системы (смотри 1-й шаг рис.3). 4. Осталось исключить неизвестное х2 из 3-го уравнения системы. Для этого реализуем описанный выше алгоритм для 2-ой и3-ей строк (смотри 2-й шаг рис.3).
На этом первый этап метода Гаусса, закончен, матрица системы приведена к треугольной. Второй этап. Здесь последовательно найдем неизвестные, начиная с последней строки. Для этого в ячейки G2:G4 запишем формулы: G4=D13/C13 (для вычисления x3); G3=D12-C12∙G4 (для вычисления x2); G2=D11-C11∙G4-B11∙G3 (для вычисления x1). Найдем решение исходной системы, используя надстройку Поиск решения. Заготовим таблицу, как показано на рис.4.
Заготовим ячейки А7:С7, где будет сформировано решение системы (х1, х2, х3). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, . 1. Введем коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5. 2. В столбец D введем выражения для вычисления левых частей исходной системы. Для этого в ячейке D3 введем и скопируем вниз до конца таблицы формулу: D3=СУММПРОИЗВ (A3:C3;$A$7:$C$7). 3. В столбец Е запишем значения правых частей системы . 4. Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая . 5. Зададим команду Данные\Поиск решения. В окне Параметры поиска решения (рис.5) в поле Изменяя ячейки переменных укажем блок $А$7:$С$7, а в поле Ограничения – $D$3:$D$5=$E$3:$E$5. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения. Рис. 5 6. Щелкнем на кнопке Найти решение. Полученное решение системы х1=1; х2=–1 х3=2 записано в ячейках А7:С7, рис.4.
Для нахождения обратной матрицы, слева к исходной записываем единичную и аналогичными преобразованиями приводим левую часть к единичной матрице. Для проверки используем функцию МОБР, для вывода всей обратной матрицы выделяем матрицу нужной размерности и нажимаем F2, Ctrl+Shift+Enter. Находим нормы прямой и обратной матрицы, а также число обусловленности. Для проверки устойчивости придаем правым частям небольшие возмущения и находим решение системы при помощи надстройки Поиск решения.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (417)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |