Перевод чисел из одной позиционной СС в другую

Методы перевода чисел

Числа в разных системах счисления можно представить следующим образом:

, где

Значит, в общем виде задачу перевода числа из системы счисления с основанием q₁ в систему счисления с основанием q₂ можно представить как задачу определения коэффициентов b_j нового ряда, изображающего число в системе с основанием q₂. В такой постановке задачу перевода можно решить подбором коэффициентов b_j.

Перевод чисел делением на основание новой системы

Перевод целых чисел осуществляется делением на основание q₂ новой системы счисления, правильных дробей – умножением на основание q₂. Действия деления и умножения выполняются по правилам q₁-арифметики. Перевод неправильных дробей осуществляется раздельно по указанным правилам, результат записывается в виде новой дроби в системе с основанием q₂.

Пример 1. Перевести десятичное число A = 61₁₀ в систему счисления с q = 2.

61 | 2

6030 | 2

b₀ = 1 3015 | 2

b₁ = 0 14 7 | 2

b₂ = 1 63 | 2

b₃ = 1 2 1 = b₅

b₄ = 1

Ответ: 61₁₀ = 111101₂.

Табличный метод перевода

В простейшем виде табличный метод заключается в следующем: имеется таблица всех чисел одной системы с соответствующими эквивалентами из другой системы; задача перевода сводится к нахождению соответствующей строки таблицы и выбору из нее эквивалента. Такая таблица очень громоздка и требует большой емкости памяти для хранения.

Другой вид табличного метода заключается в том, что имеются таблицы эквивалентов в каждой системе только для цифр этих систем и степеней основания (положительных и отрицательных); задача перевода сводится к тому, что в выражение ряда (1) для исходной системы счисления надо поставить эквиваленты из новой системы для всех цифр и степеней основания и произвести соответствующие действия (умножения и сложения) по правилам q₂-арифметики. полученный результат этих действий будет изображать число в новой системе счисления.

Пример 2. Перевести десятичное число A = 113 в двоичную систему счисления, используя таблицу эквивалентов цифр и степеней основания

(q₂ = 2).

Таблица 1 – Таблица эквивалентов

Решение. Подставив значения двоичных эквивалентов десятичных цифр и степеней основания в (3), получим

A = 113 = 1 · 10² + 1 · 10¹ + 3 · 10⁰ = 001 · 1100100 + 0001 · 1010 + 0011 · 0001 = 1110001₂.

Ответ: 1110001₂.

Форматы представления чисел с фиксированной плавающей запятой

Число 0,028 можно записать так: 28·10^-3, или 2,8·10^-2, или 0,03 (с округлением) и т. д. В компьютере используются две формы представления чисел.

Представление чисел с фиксированной запятой (точкой). Оно характеризуется тем, что положение разрядов числа в машинном изображении остается всегда постоянным независимо от величины самого числа.

Число А можно представить в виде

A=[A]_ф K_A,

где [A]_ф – машинное изображение числа в формате с фиксированной запятой, значение которого лежит в пределах

-1 < [A]_ф < 1;

K_A – масштабный коэффициент, выбирается так, чтобы сохранить соответствие разрадов всех чисел, которыми оперирует компьютер.

Формат (разрядная сетка) машинного изображения чисел с фиксированной запятой разбивается на знаковую часть и поле числа. В знаковую часть записывается информация о знаке числа: 0, если A≥0; 1, если A<0.

Например, числа А₁ и A₂ в прямом коде имеют машинное изображение:

A₁ = 0.010011100010111₂;

A₂ = – A₁ = 0.010011100010111_2.

Представление чисел в формате с плавающей запятой. Оно характеризуется тем, что положение разряда числа в его машинном изображении непостоянно, и число А записывается следующим образом:

A = m_Ap_A,

где m_A – мантисса числа A; при представлении числа в компьютере мантисса должна удовлетворять ограничению 2^-1 ≤ | m_A | ≤ 1 – 2^-n; n – количество разрядов для изображения мантиссы без знака; p_A – порядок числа A.

Формат машинного изображения числа с плавающей запятой содержит знаковые части и поля мантиссы и порядка.